Lineární algebra

Od: Datum: 04.01.14 13:07 odpovědí: 11 změna: 06.01.14 19:02

Dobrý den,

našel by se tu někdo, kdo by mi mohl spočítat tyto příklady? Nejde mi o to, aby za mě někdo něco udělal, jsou to jen vzorové příklady, podle kterých bych se to mohl naučit. Nejlepší by bylo na papír i s postupem, abych viděl ty kroky, které mám udělat. Potřebuji se to naučit, ale bohužel nemám nikoho za kým bych se mohl obrátit. Děkuji moc
Zdroj: https://www.poradte.cz/skola/…earni-algebra-priklady.html#1



Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 04.01.14 15:02
avatar

Co chcete s těmi polynomy? S těmy mohou být spojeny různé úlohy, kterou chcete řešit? Rozklad na kořenové činitele? To je v podstatě řešení rovnice n-tého stupně. Na to vlastně univerzální postup neexistuje. Ví se, že každý polynm stupně alespoň prvního má alespoň jedek kořen v oboru komplexních čísel, ale že kořeny rovnice stupňě pátého a vyššího nelze obecně vyjádřit v radikálech (tedy že neexistuje nějaký vzorec podobného typu jako pro kvadratickou rovnici). U vámi uvedeného polynomu jde to tzv. reciprokou rovnici, zjednodušeně řečeno, její koeficienty lze číst i pozpátku a nic se nezmění. Kdyby byla sudého stupně, mohl byste k nalezení kořenů použít substituci x + 1/x = y; u rovnice lichého stupně nejprve využijete toho, že jeden kořen musí být -1. Nebo se pokusit kořen uhádnout, třeba tak, že hledáte zkusmo celočíselné kořeny. Ty samozřejmě existovat nemusí, ale pokut existují, jsou dělitely absolutního členu. Zde tedy vyzkoušíte jeničku a mínus jedničku a ta druhá vyhovuje, ovšem to jsme věděli i z toho prvního přístupu. Následně polynom podělíte kořenovým činitelem (x+1), Vznikne (reciproká) kvadratická rovnice, kterou umíte.

Ale třeba vám jde o něco jiného?

Příkklad 2 lze češit mnohými způsoby; co o determinantech víta? Já bych asi pouil rozvoj podle třetího řádk: byl by roven +3*minor1 -0*minor2+0*minor3 -(-4)/minor4, kde minor1 je determinant třetího řádu, který vznikne vyškrtnitím prvního sloupce a čtvrtého řádku, minor4 vyškrtnutím 4. sloupde a 4. řádku. Jistě je vám jasnéj jak vzniknou minory 2a3, ale díky nulovým koeficientům na nich nezáleží. No a tu relevantní subdeterminantu spočtete Sárusovým pravidlem

Jsou ovšem i jiné metody, třeba převedení na tvar s nulami pod hlavní diagonálou.

Ohodnoceno: 3x
 
Datum: 05.01.14 10:51

Ano, příklad s polynomy, rozklad na kořenové činitele. Příklady jsem se snažil spočítat sám, nevím jestli tam někde nemám chybu, tak by se hodilo zkontrolování. Akorát u toho třetího příkladu vůbec nevím co mám řešit a jak to mám řešit, to je ten příklad s jádrem a obrazem. V sešitě nemám žádný příklad, který by mi s tím pomohl. Myslíte, že byste byl schopný mi tenhle příklad spočítat a poslat sken buď sem nebo na e-mail: wozimba@gmail.com, nevím u něj ani jak začít a moc jsem tuhle látku nepochopil, takže by se hodil postup. Jinak samozřejmě děkuji za vysvětlení výše.

Od: laik
Datum: 05.01.14 11:26

Tak treba prave na ty matice zobrazeni, jadra a obrazy je na Internetu pmerne dost stranek s priklady, ze kterych by se to snad dalo vyresit.

Tohle je matematika nekde v prvaku na VS? Protoze jestli to nemas v sesite, tak je to urcite popsane ve skriptu. Navic na Internetu je spousta navodu a vysvetleni na tuhletu zakladni algebru. At uz cesky nebo anglicky. Jsou to opravdu zaklady, takze je to popsane vsude tisickrat.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 05.01.14 13:07

Já myslel, že od toho tu ta poradna je. Spousta lidí sem dává dotazy, které jsou dohledatelné na internetu, mě šlo pouze o tenhle příklad. Promiňte, že Vám to píšu, ale odpovědi na dotazy typu, že si to člověk může dohledat, jsou v poradně zbytečné. I já tu občas zodpovím na dotaz, který se dá snadno dohledat a zjednoduším tím dotazujícímu hledání.

Datum: 05.01.14 18:45
avatar

Přiznám se, že tomu prvnímu výpočtu moc nerozumím. Zžejmě jde o Hornerovo schéma. Ten úplně první obdélníček beru. To je výpočet hodnoty daného polynomu v bodě x = -1 a vyjde nula, tedy -1 je kořenem daného polynomu a (x+1) je kořenovým činitelem. A proč jsme počítali právě v tomto bodě? Buď jsme vyšli z obecně známého faktu, že každá reciproká rovnice má kořen -1 (a jen jsme si to ověřovali). nebo jsme hledali celočíselné kořeny. Ale ta další čísla jaksi nechápu. Proč dosazujeme trojku, minus trojku atd.? Pokud je to pokračování hledání celočíselného kořene, pak zjišťujeme, že žádné ze zkoušených čísel kořenem není, že je to slepá ulička, nebo nevím; rozhodně zde není žádné spojení mezi naším polynomem a součinem (x+1)(x+3), krom náhodné shody v hodnotě v bodě 2. K tomu poznámku: pokud náš polynom má celočíselné koeficienty, pak když tam dosadím celé číslo a to se ukáže býti kořenem, tak převedením jedničky (absolutního členu) na pravou stranu rovnice zjistím, že ta jednička je násobkem kořene, čili jediný potenciálně možný další celočíselný kořen mmúže být jedině x = 1, což není.

Obecně vzato, další postup po nalezení jednoho kořene, dejme tomu a, spočívá v tom, že polynom vydělíme k.č, (x-a) a dále se zabýváme polynomem stupně o jedna nižšího, v našem případě kvadratickým polynomem, a s tím spojenou rovnicí, v našem případě kvadratickou, což umíme. A jak se to dělení provádí? To jde různě, ale když už jsmo nasadili Hornerovo schema, dostaneme podíl také z něj. Ten výsledný řádek Vám vyšel

1...0...1...0

(ty tečky jsem tam dal proto, aby se mi to nesmrsklo, čili jsou tam z typografických důvodů a matematicky tam nemají co dělat, tak si je prosím odmyslete.) Správně jste zatrhl nulu jako že jste našel kořen, a vypsal (x+1) jako jeden z kořenových činitelů, ale Hornerovo schema umí víc: slouží též k dělení polynomů a ty koeficienty před závěrečnou nulou jsou koeficienty podílu

(x3+x2 +x +1):(x+1) = 1*x² + 0*x+1.

(x3+x2 +x +1) =(x+1) (x2 +1)

takže jsme vlastně hotovi: ten poslední řádek je rozklad polynomu na irreducibílní polynomy a další rozklad už je mořný jen v oboru komplexních čísel:

(x3+x2 +x +1) =(x+1)(x+i)(x-i)

Ty příklady 2 a 4 mi přijdou v pořádku, ještě na někouknu. A k lineárnímu zobrazení se vrátím.

doplněno 05.01.14 18:46:

A zase jsem to neuhlídal. Smajlík je otevírací závorka, snad si to opravíte sám.

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 05.01.14 23:05

Děkuji, bral jsem to tak, že ani jedna ze závorek se nesmí rovnat nule, tak z toho jsem vycházel. Že určuji u čísel -1 a -3 Hornerovo schéma a podle toho pokud vyjde 0, tak to platí, ale zřejmě jsem to blbě pochopil, Pokud byste se k tomu dostal během zítřka, tak bych byl moc rád, jelikož v úterý už je pozdě. Tudíž čím dřív, tím líp. Děkuji moc! Podívám se na to pozorněji během zítřka, teď jsem to jen ta zběžně prohlídl.

Datum: 06.01.14 11:41
avatar

Tak nejprve ještě doplněk k těm polynomům. Myslím, že jste to nebral tak špatně, i když vyjádření je nepřesné; například vazba "pokud vyjde 0, tak to platí," jaksi postrádá smysl, není-li řečeno, co jako platí. Je to prostě takto:

1. Každý polynom Pnstupně n aspoň prvního (n≥1) má v komplexních číslech aspoň jeden kořen, označme ho x1. (To je takzvaná základní věta algebry; ta není jednoduchá k důkazu ale platí)

2. Polynom Pnlze následně vydělit kořenovým činitelem (x - x1), čímž dostaneme

Pn= (x-x1)Qn-1

(to není složité dokázat, vlastně je to jednoduché, ale tím se zabývat nebudu), a na polynom Qn-1mohu opět aplikovat základní větu algebry, a to opakuji tak dlouho, dokud stupeň toho polynomu neklesne na nulu.

Dúsledkem je to, že každý polynom stupně n≥1 má právě n komplexních kořenů, bráno včetně násobnosti, tj. pokud nějaká hodnota kořene se vyskytne opakovaně, tak je to násobný kořen) a lze ho tedy rozložit na kořenové činitele, tj.

Pn(x) = a(x-x1)(x-x2)...(x-xn)

Problém rozkladu je tedu v tom, najít ty kořeny. Úplně nerozumím, co míníte tou větou "ani jedna ze závorek se nesmí rovnat nule," ale to druhé, totiž postupné dosazování jedničky, mínus jedničky, dvojky, mínus dvojy atd je v zásadě v pořádku, a skutečné, pokud by nekterá z hodnot byla nulová, našel jste kořen. To ovšem nastalo jen v případě x = -1, v ostatních případech ne, čili to byly slepé uličky. A navíc, jak jsem se pokoušel naznačit v předchozí odpovědi, jediné smysluplné pokusy byly x = -1 (to vyšlo) a x = 1 (to nevyšlo), všechny ostatní byly a priori odsouzeny k zániku. Správnou (nebo řekněme účelnou) možnost jsem napsal výše, snad to je pochopitelné. Ještě by se dalo napsat více, například o tom, jak se projeví to, že koeficienty jsou reálná čísla, ale nemůžeme zde probírat kompletní látku o polynomech.

K lineárnímu zobrazení se vrátím v doplnění, zde jen to, že jádro lineárního zobrazení je vzor nuly, zde tedy řešení rovnic

2a-b+c = 0, a+3b=c-0 atd

(něco lze pochopit i z uvedeného odkazu),

doplněno 06.01.14 14:44:

K rovnicím - ano, můžete zkoušet cokoli (jen, jak jsem napsal, jen něco má a priory zmysl).

A teď to lineární zobrazení. Mohl bych to napsat na papír a nascanoat, ale začu bez toho, přímou odpovědí zde.

Tak především co ty znaky v zadání znamenajé. Zřejmě to [a,b,c] znamená aritmetický vektor , obecný vektor třídimenzionálního vektorového prostoru V3, a tím T-čkem, tedy [a,b,c]T chceme říci, že ho chápeme jako sloupcový vektor, někdy říkáme, že jde o vektor z V*3. L je označení pro to zkoumané lineární zobrazení a celá ta rovnice je definiční vztah pro to zobrazení, říká, jaký vektor je obrazem obecného vektoru [a,b,c] (respektive [a,b,c]T); například obrazem vekoru [3,2,-6] je vektor [-2,0,15,0,13] (zkontrolujte si to, píšu to zpaměti; ale ono tohle je jen ilustrace a není to zas tak podstatné). (Taky jsem se vykašlal na ta Tčka, ono to jen zdržuje, domyslete si je tam.) Takžej jak patrno, zobrazení L je zobrazení prostoru V3 do prostoru V5; ale vlastně, ve své podstat+, je to zobrazení do prostoru V3, reprezentovaného první, třetí a pátou souřadnicí, a ta druhá a čtvrtá souřadnice, která bude vždy nulová, je tam jen tak pro parácu.)

No a teď ty pojmy. Jak jsem již psal, jádro (kernel) lineárního zobrazení je lineární podprostor prostoru vzorů, tvořený všeni řešeními rocnice (v našem konkrétním případě) L[a,b,c] = [0,0,0,0,0] ("vzor nuly"). Pro nás to znamená, že musíme vyřešit systém (homogenních) rovnic

2a-b+c = 0

a+3b-c= 0

3a+2b = 0

V tomto případě je třetí rovnice součtem prvních dvou, takže kernel je množina všech [a,b,c]. pro která

2a-b+c = 0

a+3b-c= 0

což bude jakási přímka (geometricky průsečnice dvou rovin, daných těmito rovnicemi).

Obraz bude množina všech obrazů ve zobrazení L, (tedy množina všech pětirozměrných vektorů, které mají nějaký vzor). (Z obecných vět plyne, že v tomto padě půjde o lineární prostor dimenze dvě, tady o přímku. ) Zjistíme ho například že zjistíme obrazy bázových vektorů prostoru V2, nejlébe z kanonické báze [1,0,0], [0,1.0] a [0,0,1] a z nich vybereme bázi podprostoru V5, (podle obezných vět vy to měly být dva nezávislé vektory) obraz pak bude množina všech lineárních kombinací těchto bázových vektorů.

Prozatím tak, abych tuhle odpověď nepřehltíil.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 06.01.14 12:52

Psal jsem to narychlo, abyste tu měl ode mě nějakou zpětnou vazbu, že jsem to přečetl. Tudíž tedy zkoušení kořenů nezávisí na těch závorkách, ale můžu zkoušet dá se říci cokoli (1, -1, 2, -2, 3, -3...)

Datum: 06.01.14 19:02
avatar

Takže teď k výpočtu. Kernel je dán těmi rovnicemi

2a-b+c = 0

a+3b-c= 0

což lze nakonec i akceptovat jako řešení, nebo je vyřešit, řešení bude jednoparametrické, čili bude tvořené násobky jednoho vektoru. Zvolím třeba c = 7, to dá a = -2, b = 3, a jádro je množina všech vektorů [-2t,3t,7t] pro t reálné.
Obraz v tom zobrazení, to je tedy lineární obal vektorů L ([1,0,0]) = [2,0,1,0,3]. L([0,1,0]) = [-1,0,3,0,2] a L([0,0,1]) =[1,0,-1.0.0]
No a teď stačí z vektorů
[2,0,1,0,3]
[-1,0,3,0,2]
[1,0,-1.0.0]
vebrat bázi, tedy maximální počet nezávislých vektorů, jako když hledáte hodnost matice: pvojnásobek druhého vektoru připčtete k prvnímu a druhý připočtete ke třetímu, dostanene

[0,0,7,0,7]

[-1,0,3,0,2]

[0,0,2.0.2]

což je ekvivalentí bázi


[-1,0,3,0,2]

[0,0,1.0.1]

a obraz je tvořen všemi lineárními kombinacemi těchto dvou vektorů.




doplněno 06.01.14 21:50:

No a co matice zobrazení? To je taková matice, reprezentující to zobrazení, že maticový součin A°[a,b,c]T = L([a,b,c]). Jak ji zjistíme, stačí si uvědomit, že obraz vektoru [1,0,0]) je první sloupec matice A, a tak dále; z toho ji snadno spočteme.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 04.01.14 19:01

Posílám jeden odkaz, který by mohl pomoct :).

http://www.studopory.vsb.cz/s…/Sbirka_uloh/video/obsah.html

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 05.01.14 10:52

Děkuji, tohle jistě využiji :)

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.