Lineární algebra - příklady

Od: Datum: 03.01.14 12:45 odpovědí: 2 změna: 23.01.14 23:47

Dobrý den,

našel by se tu někdo, kdo by mi mohl spočítat tyto příklady? Nejde mi o to, aby za mě někdo něco udělal, jsou to jen vzorové příklady, podle kterých bych se to mohl naučit. Nejlepší by bylo na papír i s postupem, abych viděl ty kroky, které mám udělat. Potřebuji se to naučit, ale bohužel nemám nikoho za kým bych se mohl obrátit. Děkuji moc



Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 23.01.14 14:10
avatar

ačnu polynomem, jednak je to první úloha, jednak se to dá snadno napsat v editoru. Předpokládám, že řešením se rozumí rozklad na kořenové činitele, respektiva na irreducibilní polynomy, Jen nevím přesně, které dva způsoby jsou vyžadovány, ono je jich více.

Jak nejjednodušší vidím následující postup: z prvních dvou členů vytknout x2, což mi následné umožní vytknout (x+1) a pak už je to brnkačka. Postup rozepisuji:

x3 + x2 + x + 1 = x2(x+1) + x + 1= (x2 + 1)(x+1)

To už je rozklad na ireducibilní polynomy (polynom (x2 + 1) nemá reálné kořeny). V oboru komplexních čísel to mohu ještě dotáhnout na rozklad na kořenové činitele:

(x2 + 1)(x+1) = (x + i)(x - i)(x +1)

kde i je, samozřejmě, komplexní jednotka, odmocnina z mínus jedné. Tohle bude určite jeden ze způsobů, kterrý měl na mysli zadavatel úlohu. Dál si nejsem jist, vidím nejméně dva způsoby.

První spočívá v tom, že rovnici

x3 + x2 + x + 1 = 0

řeším jako reciprokou rovnici prvního druhu lichého stupně, a to takto: rovnici taková rovnice má vždy kořen rovný -1. takže jeden kořenový činitel je (x+1) a druhý polynom do rozkladu je tedy (x2+1),Následný postup reciproké rovnice by byl ten, že rovnici vydělím x (které není kořenem, takže to mohu udělat beze ztráty obecnosti, a následně položím x + 1/x = y. To by ale zde bylo trochu umělé, tak o tom pohovořím v dodatku na jiném příkladě.

Jako další možnost vidím vynásobit rovnici (x-1) a vzniklou rovnici řešit v goniometrickém tvaru x = r(cos α

i sin α ), ale o tom taky v dodatku.

doplněno 23.01.14 18:11:

K tomu goniometrickému postupu: rovnici

x3 + x2 + x + 1 = 0

vynásobím výrazem (x-1) a dostanu rovnici

x4-1 = 0

(tím jsem ovšem přidal kořen x = 1, která musím nakonec zase vyřadit. ) Následně položím

x = r(cos α + i sin α ), a hkedám kladné číslo r a úhel alfa mezi nulou (včetně) a 2π (nevčetně) , tak zvaný argument (nebo též amplitudu) komplexního čísla x (přesněji hlavní hodnotu argumentu). Výraz v závoce je komplexní jednotka, jejíž absolutní hodnota je 1 (plyne z goniometrické jednotky: cos2 α + sin2 α = 1) , takže r =|x| a z rovnice dostáváme, že r = 1 (r bude čtvrtá odmocnina z jedné a jediné takové kladné číslo je právě jedna). Goniometrický tvar jedničky je

1 = (cos 2kπ + i sin 2kπ), k celé, a podle Moivreovy poučky je argument x4 = 4α a tedy α = (2kπ)/4. Z těchto argumentů leží v požadovaném intervalu čtyři, pro k = 0,1,2,3 , tedy α = 0, π/2, π, (3π¨/2 a tedy máme čtyři řešení

x1,2,3,4 = 1, i, -1, -i. Z těchto řešení musíme ovšem vyřadit uměle přidané řešení x1 = 1 a je to.

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 23.01.14 23:47
avatar

Na závěr se trochu rozepíšu o těch reciprokých rovnicích, konkrétně ao rovnicích prvního druhu (takových, kde koeficienty čteny zprava doleva vycházejí stejné jako zleva doprava (u rovnice druhého druhu při "zpětném" čtení se mění zmnaménka). Pokud jde o rovnici lichého stupně, vytkneme (x

1), což vždy jde, a za vytčenou závorkou vznikne reciproký polynom sudého stupně. V našem případě ovšem byl stupně druhého, čili vlastně jsme již vše vyřešili, tak předvedu, jak by se pracovalo s polynomem stupně čtvrtého, konkrétne to předvadu na rovnici

x4+x3 + x2 + x + 1 = 0

Tu vydělíme x2, obecně x, umocněným na stupeň poloviční, než je stupeň té rovnice; dostaneme

x2+x + 1+ 1/x + 1/x2 = 0

po přeuspořádání

x2+ 1/x2 +x + 1/x + 1 = 0

a zavedeme substituci

x + 1/x = y, odkud (po umocnění na druhou) máme (x + 1/x)2 = y2, x2 + 2*x*(1/x) +1/x2 = y2, a po snadné úpravě

x2 +1/x2 = y2-2

a po dosazení máme rovnici pro ypsilon stupně druheho, tedy polovičního, než byla ta původní. No a pokud se nám z ní podaří spočítat y (coý u kvadratické rovnice dokážeme) pak substituci x + 1/x = y můžeme chápad jako rovnici pro x, po vynásobení iksem opět kvadratickou.

Když to shrnu, mám vlastně tři metody, ke kterým mohu přidat ještě čtvrtý způsob, totiž u rovnice s celočíselnými koeficienty se můžeme pokusit najít celočíselné řešení. To vypadá dost beznadějně, ale stačí si uvědomit, že pokud rovnici vyhovuje celé x, toto x musí dělit absolutní člen, v našem případě jedničku, a stačí tedy vyzkoušet x = 1 (nevyhovuje) a x = -1 ... heuréka!

Je pravda, že žádná z těchto metod není úplně obecná a využívají speciálního tvaru studovaného polynomu; holt kapitola "metody řešení algebraických rovnic" už taková je.

Ohodnoceno: 1x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.