Co jsou logaritmy?

Od: Datum: 16.05.13 16:58 odpovědí: 17 změna: 21.05.13 14:05

Ahoj. Po dvaceti letech se připravuji do školy. Jde to ztuha, ale jakž takž . Do té doby, než jsem narazil na logaritmy. Otázka první: K čemu je to dobrý? Otázka druhá : Proč jsou na kalkulačce pouze funkce log (se základem 10) a ln (se základem 2,7) a v učebnicích se počítá s jakýmkoliv základem. Chápu, co jest kvadratická rovnice, množiny, apod, ale k čemu logaritmus-to už je na mne moc.


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Od: jirbar*
Datum: 16.05.13 18:33

Zjednodušeně. Pokud nějaké číslo vyjádříme jako mocninu jiného čísla tak logaritmus je vlastně exponent. A my vlastně můžeme umocnit jakékoliv číslo. To jakékoliv myšleno kladné a většinou celé.

např číslo 16. Lg o základu 4 je 2 o základu 2 je 4

doplněno 16.05.13 18:38:

K čemu je to dobré těžko říci. Mnohé výpočty to zjednodušuje. V době kdy nebyly kalkulačky tuto funkci plnilo logaritmické pravítko.

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 16.05.13 21:15
avatar

Než byste počítal 123456 * 987654, najdete si logaritmus prvního a logaritmus druhého, což obě budou čísla, menší než 6. S řadou desetinných míst. Tato čísla sečtete, což je celkem triviální. Výsledek, tj 11 celých a nějaké drobné, podle tabulek nebo kalkulačky "odlogaritmujete" a dostanete 121931812224 (nebo něco poblíž), tj. ten součin. O dost jednodušší, než to písemně násobit.

Podobně mocniny: 26 na sedmou vemete jako logaritmus 26ti (asi 1.41) krát sedm a výsledek (9.904) odlogaritmujete. Počítat sedmkrát 26x26x26x26.. by ještě šlo, ale když to bude nějaké "hloupé číslo", opět by to postupné ruční násobení bylo celkem pracné.

doplněno 16.05.13 21:19:

Jo a druhá část: prakticky jiný základ než 10 a e nepotřebujete. Ty ostatní jsou jen do příkladů.

(no, leda byste řešil třeba nějaké pokročilejší funkce nebo speciální, složitější výpočty.. ale k tomu se třeba ještě dostanete)

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 17.05.13 16:00

Hele, já se to učím dobrovolně, nemám žádné zadání. Takže jestli s nástupem kalkulaček toto pozbývá smysl, řekněte. Nerad bych tím ztrácel čas. A jakto, že nepotřebuji jiný základ než 10? Co je na základu 10 tak geniálního? To jako že máme desítkovou soustavu?

Datum: 17.05.13 17:41
avatar

S nástupem kalkulaček pozbývá smysl použití logaritmů k numerickým výpočtům, a to se nejvíce týká právě těch dekadických logaritmů (třeba přirozený logaritmus k numerickým výpočtům nijak zvlášť pohodlný není. Na nich je geniální skutečně právě to, že máme desítkovou soustavu, a genialita spočívá právě ve zjednodušení těchto výpočtů (to jsem naznačoval už ve své první odpovědi). Takže není pravda, že jiné než dekadické logaritmy nepotřebujeme, naopak s ústupem logaritmů z počtářské praxe význam těch ostatních základů, speciálně základu e a základu 2, relativně stoupá. Ale pro teoretickou přípravu na základu zase tak moc nezáleží, protože ono se se všemi základy počítá stejně a lze říci, že dvě různé logaritmické funkce (míněno s různými základy) se liší jen multiplikativním faktorem (tedy že jeden logaritmus na druhý převedeme tak, že ho znásobíme vhodným číslem. Jakým, to je součást teorie logaritmů.) A rozhodně jejich studiem čas neztrácíte, i kdybyste se bez nich momentálně obešel, dříve nebo později narazíte na partie, kde ho budete potřebovat.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 16.05.13 23:37
avatar

Tak ono co je logaritmus, to zde snad je vysvětleno. Ještě jednou zopakuji: logaritmus nějakého (kladného) čísla je takové číslo, na které musíme umocnit základ, abychom dostali to ono logaritmované číslo.

A význam? Nu, jednak praktický, ulehčuje výpočty tím, že násobení převádí na sčítání, případně umocňování na násobení), což mělo své uplatnění jako logaritmické pravítko (to byl vlastně takový analogový počítač, kdy krom toho, že násobení se převádělo na sčítání logaritmů, navíc toto sčítání, tedy aritmetická operace, bylo realizováno analogově jako geometrické sčítání úseček), což byl "počítač" relativně rychlý, ale s omezenou přesností, anebo se používaly logaritmické tabulky, jejichž použití bylo pomalejší, ale zato bylo možno dosáhnout značně větší přesnosti. K těmto účelům pak byly jako nejvhodnější užívány logaritmy se základem deset (tzv. Briggsovy logaritmy), které mají tu výhodu, že se jednoduše hodí pro násobení deseti a mocninami deseti.. Logaritmus deseti je 1, logaritmus 100 je 2 atd, takže násobit deseti na k-tou znamená přičíst k logaritmu číslo k. Tabulku pak jsou konstruovány tak, že jsou v nich uvedeny logaritmy čísel mezi jednou a deseti (tzv. mantisa. která má hodnotu mezi nulou a jednou) a řád je vyjadřován posuvem desetinné čárky, tzv, charakteristika (tohle by chtělo napsat exaktněji, pro orientaci by to mělo stačit). Tento aspekt se zavedením kalkulaček a počítačů ztrácí v současné době na významu až tak dalece, že většina středoškoláků například o logaritmickém pravítku v žívotě neslyšela, ale jednak se právě v počítačových aplikacích objevují nová použití, jednak stále přetrvává velký teoretický význam logaritmů (poločas rozpadu, řešení diferenciálních rovnic, rovnice populace (s trochu pochybnou Malthusovou aplikací ospravedlňující války a mor) a další a další.. To je ale na další povídání, když tak tomu věnuji (možná) další odpověď-

Ohodnoceno: 3x
 
Datum: 17.05.13 00:45
avatar

Ony se ty logaritmy do skutečných počítačů taky vecpaly ve formě čísel s plovoucí desetinnou čárkou (float - single, double apod.), které tak jsou vnitřně reprezentovány. Téměř neomezený rozsah hodnot s omezenou přesností :)

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 17.05.13 09:38
avatar

To jpatří k tomu, o čem jsem psal, že " tomu věnuji (možná) další odpověď". I když právě floating point je jen částečný příklad, nepracuje přímo s logaritmy ale využívá některé postupy ("semilogaritmický tvar", exponent ≈charakteristika). Další oblast, kam se do informatiky vecpaly logaritmy, .je výpočetní složitost algoritmů (zde se přirozeným způsobem objevuje logaritmus při základu 2). Příklad hledání v telefonním seznamu o n položkách. Jestliže hledáme přímočaře od a do z, musíme v nejhorším případě (hledám pana Žouželku, třeba) provést až n porovnání. Metoda ppůlení se provádí tak, že otevřeme seznam někde uprostřed a zjistíme, zda hledat v první či v druhé polovině; s tou pak postup opakujeme. Celkem snadno ověříme, že po k krocích prověříme 2^k položek, takže naopak, chceme-li prověřit n položek, stačí nám k tomu, v nejhorším případě, log_2 n (logaritmus n při základu 2).To třeba při hledání v telefonním seznamu malého podniku celkem nehraje roli, ale třeba u tel. seznamu New Yorku už by to byl sakra rozdíl a byl by znát i v práci počítače. karbonová Jinak jsem se zmiňoval o tom teoretickém významu logaritmů, respektive logaritmických funkcí. Zde budiž řečeno, že logaritmus je inverzní funkce k exponenciále a tak ten význam je vhodné posuzovat dohromaty s exponenciálou. No a on může být i velice sofistikovaný, ale zkusím uvést alespoň něco. Třeba uhlíkové datování. Rozpad radioaktivního uhlíku se řídí rovnicí

M = M0*e^(-kt)

kde M0 je počáteční množství a k udává rychlost rozpadu. Poločas rozpadu, jak známo, je čas, v němž M bude poloviční, a tak vztah mezi poločasem rozpadu T a rychlostí k je dán logaritmicky (kT = ln 2, zde přirozeně vstupuje do hry přirozený logaritmus, při záladu e) a pomocí logaritmů následně určujeme i stáří nálezu podle zbytků radioaktivního uhlíku.

Malthuz pracoval jinak. Ten usoudil, že přírůstek obyvatelstva za určité krátké časové obdobý (rychlost růstu populace) je úměrný počtu jedinců, a dospěl ke vztahu podobnému jako ten pro radioaktivní rozpad, jen místo -k je v exponentu +k, a z toho usoudil, že války a podobně jsou nutnou podmínkou přežití lidstava (lapidárně to formuloval tak že zatímco zdroje rostou řadou aritmetickou, populace roste ředou geometrickou). Nebudu zde rozebírat společenský, ekonomický atd. rozměr malthusiánství, ale po matematické stránce je tento výpočet v pořádku, tedy pokud platí výchozí předpoklad (přírůstek úměrná množství jedinců), je růst exponenciální. Tento závěr byl dokonce experimentálně potvrzen s objevem penicilinu. Výchozí předpoklad vychází z toho, že neexistují omezující vlivy jako třeba prostor, množství potravy atd. a to bylo při výrobě penicilinu. Zde byly pro růst plísně penicilium notatum pečlivě takovéto podmínky připraveny a v krátké době se objevila krize odbytu.

doplněno 17.05.13 12:25:

samozřejmě období.

Pokud jsem přehléfl ještě nějaký překlep. co se tím pádem tváří jako hrubka (ale i jiný). omlouvám se.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: assd
Datum: 17.05.13 10:41

Například zde pro výpočet je zapotřebí vědět, co je to logaritmus.

https://www.poradte.cz/skola/…ozene-uroceni-dosazeni.html#2

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 17.05.13 13:04
avatar

jj, kantoři to vysvětlují tak, že jim občas nerozumí ani pánbu.

Já to zkusím trochu jinak.

Každé číslo se dá napsat jako 10 umocněná na nějaký exponent. Těmto exponentům se říká logaritmy. No a při násobení se tyto exponenty sčítají.

Proto bylo vymyšlené logaritmování, které z násobení velkých čísel dělá sečítání malých.

Mrkni se na obrázek.

200 x 160 = 32000, no a když jsem to vzal přes logaritmy, vyšlo mi 31989.

Ohodnoceno: 1x
 
Od: br
Datum: 17.05.13 13:52
Píšete: „Každé číslo se dá napsat jako 10 umocněná na nějaký exponent.“
Tak mi umocněte 10 na nějaký exponent, aby mi vyšlo například -100 (minus 100).
Jinak ve vašem výpočtu jste prošustroval 11.
Ohodnoceno: 0x
 
Od: jirbar*
Datum: 17.05.13 14:28

Pitváš se v tom a chytáš ho za slovo. Nahoře je jasně napsáno že logaritmovat jdou kladná čísla.

Jinak to tvé -100 = 10² * i²

doplněno 17.05.13 16:26:

Hochu, hochu. Ty ani nevíš co jsi všechno prošustroval.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: br
Datum: 17.05.13 15:19
Píše: „Každé číslo se dá napsat jako 10 umocněná na nějaký exponent.“ Co kdo píše nahoře nevím.
Prosil bych vypočítat logaritmus 10^2 * i^2, když je to podle vás 10.
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 17.05.13 16:20
avatar

vidím že trefená husa zakejhala. *smich**smich*

Ohodnoceno: 0x
 

 

Datum: 17.05.13 17:25
avatar

No, on figurek pravděpodobně měl na mysli "každé kladné číslo se dá napsat..."; říkám pravděpodobně nerad bych mluvil za něj, a když to nenapsal, dopustil se přepisu. Závažnost toho přepisu hodnotit nebudu; nicméně pokud skutečně neměl kolega Figurek na mysli počítání v komplexním oboru, úplně dobře to není. Mel bych k tomu ještě jednu drobnou připomínku, totiž že zcela opomněl jiný základ než deset, ale opravdu je to jen drobná připomínka.

Na druhou stranu vyjádření "prošustroval jste jedenáct" bych nahradil vyjádřením "v důsledku zaokrohovacích chyb je chyba výsledku = 11", což je chyba v řádu tisícin. Při "přesnějším" výpočtu dostaneme

10^2,30103 * 10^2,20412 = 10^4,50515 = 32000.0016

zkrátka bavíme se o zaokrouhlovacích chybách. To sice Figurek explicitně nenapsal, ale ví o tom, a snad je jasné, že to měl právě namysli..

Jinak, je pravda, že 10^2 * i^2 = -100 (takže nevím, podle koho je to deset) ale s logaritmem -100 to moc nesouvisí. Logaritmicá funkce je definována i pro záporný argument, ovšem hodnoty jsou z komplexního oboru a funkce není jednoznačná. Konkrétně pro přirozený logaritmus ( se kterým v komplexním oboru obvykle pracujeme) platí

ln z = ln |z| + i arg z

takže například

ln (-e) = 1 +(2k+1)π i , k celé

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 19.05.13 09:17
avatar

no tak pravda, pokusil jsem se tazateli ukázat, proč a k čemu logaritmy vlastně vznikly a jak se s nimi kdysi zacházelo. Byly vymyšlené pro námořní navigační důstojníky, kteří sice ještě jaxi taxi uměli sečítat malá čísla, ale násobení velkých čísel velkými čísly, to už na ně bylo trochu moc. Proto vznikly logaritmické tabulky.

No a samozřejmě, násobení počítané přes logaritmy nevychází úplně přesně. Což ten zdejší mistr s nickem BR vůbec neví. Pak s někým takovým diskutujte.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: trdlo*
Datum: 19.05.13 22:30

Nebudu tu vse cist tak nevim jestli se neopakuji.

Prave jsem delal nastavbove studium ( taky po delsi dobe ..cca 9 let)

Nevim co budete delat za skolu ale jestli stredni tak v maturite vam prakticky nic jineho nez o zakladu 10 nedaji.

Bylo to myslim jen v jedne s jinym zakladem. Jinak kalkulacka umí počitat s jinym zakladem napriklad tahle : Casio Fx-350ES+

Je primo doporucena od cermatu a ja ji mohu taky doporucit . Jinak jestli mate tabulky tak je tam vzorec podle kteryho muzete vypocitat logaritmus (jen dosazujte ) a pocitejte. Jinak logaritmus budete potrebovat ve vice vecech treba i u slozeneho urokovani .

Hodne zdaru

Ohodnoceno: 0x
 
Od: tonejsemja
Datum: 21.05.13 14:05

log čísla 16 při základu 4(ta 4 je malinký číslo u log) je 2, takže na co umocníme malinký číslo, aby jsme dostali veliký číslo-16? je to 2 :), na kalkulačce se s tím počítá tak, že log 16/log 4 oba při stejném základu-10, ln..a pak se ještě sčítají, odčítají, umocnují ale to už jsou jen vzorce

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.