Matematická Olympiáda

Od: Datum: 03.04.13 21:00 odpovědí: 18 změna: 05.04.13 18:50
avatar

Dobrý večer všem.

Potřeboval bych píchnout s příkladama do matematické Olympiády 8. třída.

Neteř jich přinesla šest. Tři jsme zdolali, ale na dalších jsme si vylámali zuby. Viz Obrázky.

Výsledky máme, ovšem je samozřejmě potřeba postup. Alespoň začátek...

Děkuji předem :)



Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Od: pepr®
Datum: 03.04.13 21:02
avatar

A ještě jeden

Datum: 03.04.13 21:11
avatar

Sedmicípá hvězda: Vnitřní sedmiúhelník má součet úhlů roven (7-2) * 180° (je to podle nějakýho vzorce, nevim, jestli se to musí taky dokazovat, nebo to je obecně známá vlastnost pravidelných konvexních úhelníků), každý úhel v sedmiúhelníku tedy má nějakých 128,6. Vrcholový úhel k němu (v malinkém trojúhelníku od sedmiúhelníku k vrcholu hvězdy) bude doplněk do 180 (tj 51,4), druhý úhel vedle je stejný a hledaný úhel je opět doplněk do 180, takže 77,14.


doplněno 03.04.13 21:16:

Věky, rozepsané průměry dle let:

  1. suma / 7 = (suma + 7*3 + 25) / 8 = [suma + 7*5 + (25 + 2) - x] / 7

Z prvních dvou je suma 322, ve třetím pak vyjde x = 46.


doplněno 03.04.13 21:25:

No, ať nežeru:

abc = 600, ab(c-10) = 200 (nezáleží na tom, k čemu se bude přičítat nebo odečítat, viz dále)

Odečtením rovnic dostaneme ab = 40, dosazením do první c = 15. Zkusíme k němu přičíst 5 (druhá část příkladu), zjistíme, že to nejde, takže se těch 5 musí přičíst k a nebo b.

a(b+5)c = 1200, takže a(b+5) = 80, (z dřívějška už máme ab = 40,) takže a = 8. No a pak b = 5.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: pepr®
Datum: 03.04.13 21:24
avatar

Díky.

Tak to jsem zvědavý jestli to neteř pochopí, nevím jestli už v osmičce berou "sumu"

Ještě třeba nebrali ani rovnice o dvou neznámých.

Na mě je to už vyšší dívčí. Je to celkem dávno, co jsme to brali ve škole *smich*

doplněno 03.04.13 21:46:

No jasně, dyť je to (příkad s věkem) jednoduché. *smich*

Úhly vypadají taky v pohodě.

Ale ten třetí příklad asi bude už moc. Jelikož nebrali ty rovnice o dvou noznámých a tady jsou dokonce "tři" ... Tam se ztrácím i já.

doplněno 03.04.13 22:45:

Dzordz: Třetí příklad jsem myslel, ten, který jste počítal jako třetí vy. Ten s těma třema neznámýma číslama.

doplněno 03.04.13 23:08:

Dzordz: Nevychází nám ten příklad s věkem.

322 vyšlo, ovšem po dosazení vedle to nevychází *nevi*

doplněno 03.04.13 23:10:

Má tam být určitě 7*5? Jeden odešel, takže 5 let přibude jen 6 lidem, ne?

doplněno 05.04.13 17:50:

Tak nakonec mi to vyšlo. Já jsem při počítání té třetí části dosazoval za rovnáse 322 místo 46.

A opravím vás. x = 62, 46 je ten hledaný Ø věk

Datum: 03.04.13 21:29
avatar

To není nutně suma jako Σ, je to prostý aritmetický průměr = součet věků dělený počtem učitelů. "Suma" je jen nějaká neznámá, ať už si napíše x, nebo y, nebo a+b+c+d+e+f+g.

Myslel jsem, že s tím neteři někdo pomůže, je to popisované trochu stručně :)


doplněno 03.04.13 22:16:

Vetřetím příkladu máte průměr v 2007 = průměr v 2010 = průměr v 2012 = nějaké stále stejné číslo.

Napsal jsem to rovnou vedle sebe, můžete si to samozřejmě rozepsat do tří samostatných rovnic (respektive tří výrazů, které vyjadřují to stále stejné číslo, třeba y).

y = průměr 2007, y = průměr 2010, y = průměr 2012

Nejdříve použijete 2007 a 2010, z toho zjistíte onu "sumu". Pak použijete 2012, z toho dostanete věk odchozího učitele.


doplněno 03.04.13 23:13:

a * b * c = 600, když jednoho z činitelů (c) zmenšíme o 10, zmenší se součin o 400 (na 200): a * b * (c-10) = 200. Řešíme jako soustavu rovnic, v tomhle případě třeba druhou vynásobíme -1 a pak je sečteme:

  1. (a * b * c) - [a * b * (c - 10)] = 600 - 200
  2.  
  3. (a * b) * (c - c + 10) = 400
  4.  
  5. a * b = 40

No a z úplně prvního vztahu (ze zadání: a * b * c = 600) tedy zjistíme, že 40 * c = 600, c = 15

Druhá půlka: Pokud bychom 5 přičetli k c, dostali bychom 40 * (15 + 5) = 800, ale my máme dostat dvojnásobek (1200), tedy se bude 5 přičítat k něčemu jinému (a nebo b, je to jedno).

  1. a * (b + 5) * c = 1200
  2.  
  3. a * (b + 5) = 1200 / 15

Tedy a * (b + 5) = 80, z předchozích výpočtů známe a * b = 40, opět soustava, teď třeba dosazením:

  1. a * (b + 5) = 80
  2.  
  3. b * a + 5 * a = 80
  4.  
  5. 40 + 5 * a = 80

Takže a = 8 a dosazením (teď už do čehokoli) vyjde b = 5. Kdybychom v druhé půlce místo k b přičetli 5 k a, dostaneme výsledek naopak (5 a 8 místo 8 a 5), ale jelikož jde o trojici (5, 8, 15), tak nezáleží na tom, co je co a co je označené jak. Stačí ty tři hodnoty.

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 03.04.13 21:48
avatar

Nebudu spekulovat, jak obecně známý je ten vzorec, v každém případě někdy ho někdo dokázat musel a není to složité: stačí si uvědomit, že když spojíme vrcholy toho pravidelného sedmiúhelníku s jeho středem, rozdělíme ho tím na sedm trojúhelníkových segmentů a středové úhly (tedy ty úhly, jejichž vrcholem je střed sedmiúhelníku) tvoří dohromady plný úhel; z toho se vzoreček snadno dopočte. (No a dál, jak praví Jirbar.)

Ohodnoceno: 2x
 
Od: pepr®
Datum: 03.04.13 21:56
avatar

Děkuji i vám.

A jinak "Dál tedy pravil Dzordz".

Datum: 03.04.13 21:58
avatar

Omlouvám se dzordzovi i jirbarivi *bzum*

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 03.04.13 23:47

Myslim, ze z letosni matematicke olympiady jsem tady uz postupne spocital snad vsechny priklady *smich*

Vysledky tvojich prikladu jsem napsal v otazce Matematickologické příklady.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: pepr®
Datum: 04.04.13 00:02
avatar

Výsledky tam máš, ale postup ne. A ten já právě potřebuju.

U toho věku učitele mi to nevychází.

Od: luke237
Datum: 04.04.13 00:43

Nasel jsem ten kus papiru, na kterem jsem to pred temi par tydny v rychlosti spocital a tady jsou me rovnice:
x ... soucet veku 6 ucitelu
y ... vek toho sedmeho
p ... prumerny vek

Rovnice:
2007: (x+y)/7 = p
2010: ( (x+6x3) + (y+3) )/7 + 25 = p
2012: (x + 6x5) /7 + 27 = p

Vysledek:
p=46
y=57 (tedy v 2012 je mu o 5 let vice → 62let)

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 04.04.13 00:47
*zed* Sorry, spatne rovnice *zed* Za chvilku to poslu jeste jednou a spravne *zed*
Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 04.04.13 00:50

Nasel jsem ten kus papiru, na kterem jsem to pred temi par tydny v rychlosti spocital a tady jsou me rovnice:
x ... soucet veku 6 ucitelu
y ... vek toho sedmeho
p ... prumerny vek

Rovnice:
2007: (x+y)/7 = p
2010: ( (x+6x3) + (y+3) + 25) /8 = p
2012: ( (x+6x5) + (25+2) ) /7 = p

Ohodnoceno: 0x
 
Od: pepr®
Datum: 04.04.13 01:50
avatar

Tak zadání dává smysl, ovšem jinak jsem z toho daněk. Zkusil jsem to vypočítat a vyšlo mi y=0

doplněno 04.04.13 19:15:

No tak jsem to spočítal ručně (to co Miky09 přes wolfram) a fakt vyšlox = 265. Ale po dosazení, pak správně vyšlo y=57(+5=62)

doplněno 05.04.13 17:46:

Luke237: No jo. Ty jsi vlastně počítal věk šesti učitelů a sedmého zvlášť. Já jsem si říkal, proč Ti toxvyšlo jinak než Dzordzovi.

Od: luke237
Datum: 04.04.13 02:14

Ktera z techrovnic neni jasna? Je to presny prepis toho zadani. Nic sloziteho tam neni.

Z prvni rovnice si vyjadris "y"

Dosadis do druhe a rovnou ti vyjde p=46

Dosadis do treti rovnice, vyjde ti x=322

Dosadis do prvni rovnice, vyjde y=57

Ohodnoceno: 0x
 

 

Od: luke237
Datum: 05.04.13 01:03
Dosadis do treti rovnice, vyjde ti x=322

Chyba! Melo byt: vyjde x=265

Omlouvam se. Jak jsem psal, pred tydny jsem to spocitat na kousku papiru, na kterem uz bylo neco napsano a od te doby jsem pres to zase neco napsal a tak se v tom uz ted moc neorientuji *zed*

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 05.04.13 18:50
avatar

Je možné, že jsem tam nahoře něco pomotal a nalezenou hodnotou označil jinou reálnou skutečnost, možná i v rovnicích samých mám něco špatně :)

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.