Ahoj, potřebovala bych pomoct s domácím úkolem, je to zadání z letošní olympiády cgi.math.muni.cz/... , kategorie A. Máme vypočítat alespoň jeden příklad. Moc by mi pomohlo, kdyby byl někdo tak hodný, koukl se na to a popřípadě naskenoval, to co se pokusil spočítat.
Kdyby ňákýho chytráka napadlo, že to dělám kvůli olympiádě, tak to fakt ne. Kdybych na ní měla, tak si to vypočtu sama a neotravuju s tím ostatní. Děkuju mockrát 
)
Je první příklad takto:
1. Označme n součet všech desetimístných čísel, která mají ve svém dekadickém zápise každou z číslic 0,1,...9. Zjistěte zbytek po dělení čísla n sedmdesátisedmi.?
Skanovat to nebudu, to mne ani nenapadne, ani to nebudu dopočítávat, ale zkusím dát návod:
Když budu ta číala sčítat, tak v každém řádu budu mít součet 0+1+2+...+9 = 45 (doufám, že to neudeš skunečně sčítat a použiješ vzorec pro součet aritmetické řady)
To znamená, že ne každém místě ti vyjde 5 plus přenos =4, čili 9 (až na nultý řád, samozřejmě).
Ale pozor, tím jsme do součtu započetli i ta "desetimístná" čísla, kerá začínají nulou a jsou tedy ve skutečnosti devítimístná. Ty sečteme podobně jakoo výše a celkový součet o to opravíme. No a s tím už si poradíš, ne?
(Mně ten zbytek vyšel tuším 64, ale moc na to nespoléhej, už proto ne, že jsem si to nepoznačil a možná si to nepamatuju.)
doplněno 15.11.11 12:01:teď jsem to zkoušel jinak a pro změnu mi vyšlo 43
doplněno 15.11.11 12:15:Ale asi bude dobře těch 64; to uvádím jen proto,abchukázal, že nejsem spolelivý.
Kartaginče, tahle myšlenka asi není dokončená, nebo jí možná nerozumím správně? "Když budu ta číala sčítat, tak v každém řádu budu mít součet 0+1+2+...+9 = 45 (doufám, že to neudeš skunečně sčítat a použiješ vzorec pro součet aritmetické řady)"
Já bych to bral trochu podobně, těch 45 bude platit pro deset čísel. Všech čísel ale máme permutaci deseti, odebereme ty s nulou na prvním místě, těch je permutace devíti. Bude jich tedy snad 10! - 9! = 9*9!. Když se vhodným způsobem uspořádají a sečtou, bude to tak vycházet, že součet číslis na stejné pozici v určitých deseti číslech bude vždy 45, tedy bude připadat 4,5 na každé číslo. Takže bych to vzal jako 45+450+4500.. atd a dostal bych sumu deseti čísel, celkový součet n by pak byl roven 9*9!*(předchozí suma)/10. Takovéhle n bych teprv dělil 77, respektive snažil se ho upravit na nějakou formu, ze které půjde zbytek zjistit bez počítání konkrétního n.
Pozn. tou desítkou půjde díky faktoriálu vpředu dělit beze zbytku.
Podle kalkulačky mi vychází zbytek 21.
doplněno 15.11.11 12:50:Ani to neumím namačkat :x Správně by mi vyšlo 35.
Tohle musím promyslet. Ta moje úvaha skutečně byla poněkud ukvapená, i když jsem čísla s nulou na začátku taky zohledňoval, byť jiným způsobem. Tato úvaha mi zatím není úplně jasná; tím neříkám, že je špatně, ale musím ji promyslet a nechtěl jsem se svou odpovědí zbytečně vyčkávat.
Asi to ještě doplním a dovysvětlím. Když vytvořím permutace takovýmhle systémem, img695.imageshack.us/...
Můžu jednotlivé číslice přeskládat druhým, nebo ještě lépe třetím způsobem. Ve třetím sloupci vidím, že každá čtveřice má ve všech řádech 1+2+3+4, na jedno číslo tedy připadá 2,5. Celkový součet pak dostanu jako součin počtu čísel a hodnoty (jakoby "průměru") každého z nich, tady to bude 24*(2500+250+25+2,5).
A když jsem si to tak hezky rozepsal, tak jsem alespoň našel chybu, kterou jsem tam měl. Čísla s nulou na začátku nejde odebrat jen tak, jako počet údajů, mají totiž o řád míň, tudíž jiné hodnoty. Ty nuly sice součet neovlivní, ale hezky to doplňují, bez nich by to tím systémem nahoře nevycházelo.
doplněno 15.11.11 14:43:Už jsem se tedy snad doplácal k neukvapenému a solidnímu výsledku.
n = všechna čísla - čísla s nulama na začátku.
Všechna čísla = 10! * (4,5 * 1 111 111 111)
Nuly na začátku = 9! * ( 5 * 111 111 111)
(v druhé závorce je průměr číslic 5, protože nula už je na začátku, je tedy jen devět zbylých možností, 45/9)
Zbytek vyjde 28. Na papíře jsem ještě číslo n upravoval, moc daleko to ale nevedlo, poslední tvar byl
10! * (4 944 444 444). Nejbližší menší dělitelné je 10! * (4 944 444 439), protože sedmi je dělitelný faktoriál, jedenácti závorka dělitelná zatím není, podle rozdílu ciferných součtů lichých a sudých vyjde +5, dělitelné číslo tedy bude o 5 menší (tohle snad nemusím rozebírat, nakonec to dělitelné číslo se prostě nějak najde).
Můžeme tedy dělit jen zbytek po odečtení, který bude 10! * 5 = 7 * 2 592 000, opět najdeme nejbližší menší, 2 591 996, zbyde 7*4 = 28 a to je náš konečný zbytek.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz
