Nejste přihlášen/a.
Dobrý večer všem.
Potřeboval bych píchnout s příkladama do matematické Olympiády 8. třída.
Neteř jich přinesla šest. Tři jsme zdolali, ale na dalších jsme si vylámali zuby. Viz Obrázky.
Výsledky máme, ovšem je samozřejmě potřeba postup. Alespoň začátek...
Děkuji předem
Sedmicípá hvězda: Vnitřní sedmiúhelník má součet úhlů roven (7-2) * 180° (je to podle nějakýho vzorce, nevim, jestli se to musí taky dokazovat, nebo to je obecně známá vlastnost pravidelných konvexních úhelníků), každý úhel v sedmiúhelníku tedy má nějakých 128,6. Vrcholový úhel k němu (v malinkém trojúhelníku od sedmiúhelníku k vrcholu hvězdy) bude doplněk do 180 (tj 51,4), druhý úhel vedle je stejný a hledaný úhel je opět doplněk do 180, takže 77,14.
Věky, rozepsané průměry dle let:
Z prvních dvou je suma 322, ve třetím pak vyjde x = 46.
No, at nežeru:
abc = 600, ab(c-10) = 200 (nezáleží na tom, k čemu se bude přičítat nebo odečítat, viz dále)
Odečtením rovnic dostaneme ab = 40, dosazením do první c = 15. Zkusíme k němu přičíst 5 (druhá část příkladu), zjistíme, že to nejde, takže se těch 5 musí přičíst k a nebo b.
a(b+5)c = 1200, takže a(b+5) = 80, (z dřívějška už máme ab = 40,) takže a = 8. No a pak b = 5.
Nebudu spekulovat, jak obecně známý je ten vzorec, v každém případě někdy ho někdo dokázat musel a není to složité: stačí si uvědomit, že když spojíme vrcholy toho pravidelného sedmiúhelníku s jeho středem, rozdělíme ho tím na sedm trojúhelníkových segmentů a středové úhly (tedy ty úhly, jejichž vrcholem je střed sedmiúhelníku) tvoří dohromady plný úhel; z toho se vzoreček snadno dopočte. (No a dál, jak praví Jirbar.)
Díky.
Tak to jsem zvědavý jestli to neteř pochopí, nevím jestli už v osmičce berou "sumu"
Ještě třeba nebrali ani rovnice o dvou neznámých.
Na mě je to už vyšší dívčí. Je to celkem dávno, co jsme to brali ve škole
doplněno 03.04.13 21:46:No jasně, dyt je to (příkad s věkem) jednoduché.
Úhly vypadají taky v pohodě.
Ale ten třetí příklad asi bude už moc. Jelikož nebrali ty rovnice o dvou noznámých a tady jsou dokonce "tři" ... Tam se ztrácím i já.
doplněno 03.04.13 22:45:Dzordz: Třetí příklad jsem myslel, ten, který jste počítal jako třetí vy. Ten s těma třema neznámýma číslama.
doplněno 03.04.13 23:08:Dzordz: Nevychází nám ten příklad s věkem.
322 vyšlo, ovšem po dosazení vedle to nevychází
doplněno 03.04.13 23:10:Má tam být určitě 7*5? Jeden odešel, takže 5 let přibude jen 6 lidem, ne?
doplněno 05.04.13 17:50:Tak nakonec mi to vyšlo. Já jsem při počítání té třetí části dosazoval za rovnáse 322 místo 46.
A opravím vás. x = 62, 46 je ten hledaný Ø věk
To není nutně suma jako Σ, je to prostý aritmetický průměr = součet věků dělený počtem učitelů. "Suma" je jen nějaká neznámá, at už si napíše x, nebo y, nebo a+b+c+d+e+f+g.
Myslel jsem, že s tím neteři někdo pomůže, je to popisované trochu stručně
Vetřetím příkladu máte průměr v 2007 = průměr v 2010 = průměr v 2012 = nějaké stále stejné číslo.
Napsal jsem to rovnou vedle sebe, můžete si to samozřejmě rozepsat do tří samostatných rovnic (respektive tří výrazů, které vyjadřují to stále stejné číslo, třeba y).
y = průměr 2007, y = průměr 2010, y = průměr 2012
Nejdříve použijete 2007 a 2010, z toho zjistíte onu "sumu". Pak použijete 2012, z toho dostanete věk odchozího učitele.
a * b * c = 600, když jednoho z činitelů (c) zmenšíme o 10, zmenší se součin o 400 (na 200): a * b * (c-10) = 200. Řešíme jako soustavu rovnic, v tomhle případě třeba druhou vynásobíme -1 a pak je sečteme:
No a z úplně prvního vztahu (ze zadání: a * b * c = 600) tedy zjistíme, že 40 * c = 600, c = 15
Druhá půlka: Pokud bychom 5 přičetli k c, dostali bychom 40 * (15 + 5) = 800, ale my máme dostat dvojnásobek (1200), tedy se bude 5 přičítat k něčemu jinému (a nebo b, je to jedno).
Tedy a * (b + 5) = 80, z předchozích výpočtů známe a * b = 40, opět soustava, teď třeba dosazením:
Takže a = 8 a dosazením (teď už do čehokoli) vyjde b = 5. Kdybychom v druhé půlce místo k b přičetli 5 k a, dostaneme výsledek naopak (5 a 8 místo 8 a 5), ale jelikož jde o trojici (5, 8, 15), tak nezáleží na tom, co je co a co je označené jak. Stačí ty tři hodnoty.
Myslim, ze z letosni matematicke olympiady jsem tady uz postupne spocital snad vsechny priklady
Vysledky tvojich prikladu jsem napsal v otazce Matematickologick/....
Výsledky tam máš, ale postup ne. A ten já právě potřebuju.
U toho věku učitele mi to nevychází.
Nasel jsem ten kus papiru, na kterem jsem to pred temi par tydny v rychlosti spocital a tady jsou me rovnice:
x ... soucet veku 6 ucitelu
y ... vek toho sedmeho
p ... prumerny vek
Rovnice:
2007: (x+y)/7 = p
2010: ( (x+6x3) + (y+3) )/7 + 25 = p
2012: (x + 6x5) /7 + 27 = p
Vysledek:
p=46
y=57 (tedy v 2012 je mu o 5 let vice → 62let)
Nasel jsem ten kus papiru, na kterem jsem to pred temi par tydny v rychlosti spocital a tady jsou me rovnice:
x ... soucet veku 6 ucitelu
y ... vek toho sedmeho
p ... prumerny vek
Rovnice:
2007: (x+y)/7 = p
2010: ( (x+6x3) + (y+3) + 25) /8 = p
2012: ( (x+6x5) + (25+2) ) /7 = p
Tak zadání dává smysl, ovšem jinak jsem z toho daněk. Zkusil jsem to vypočítat a vyšlo mi y=0
doplněno 04.04.13 19:15:No tak jsem to spočítal ručně (to co Miky09 přes wolfram) a fakt vyšlox = 265. Ale po dosazení, pak správně vyšlo y=57(+5=62)
doplněno 05.04.13 17:46:Luke237: No jo. Ty jsi vlastně počítal věk šesti učitelů a sedmého zvlášt. Já jsem si říkal, proč Ti toxvyšlo jinak než Dzordzovi.
Ktera z techrovnic neni jasna? Je to presny prepis toho zadani. Nic sloziteho tam neni.
Z prvni rovnice si vyjadris "y"
Dosadis do druhe a rovnou ti vyjde p=46
Dosadis do treti rovnice, vyjde ti x=322
Dosadis do prvni rovnice, vyjde y=57
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.