Goniometrické rovnice

Takhle obecně lze snad jedině říci, že kπ připočítáváme u funkcí, které mají periodu π (tangenta, kotangenta), 2kπ připočteme, když má funkce periodu 2π (sinus, kosinus), ale omo se to komplikuje, když jsou třeba základní řešení dvě, taky záleží na tom, co konkrétně hledáme, a vůbec. Raději si sem hoďte pár příkladů, které vám jsou nejasné, budeme se bavit o nich. To máte zrovna tak s otázkou, jak nejsnadněji řešit goniometrické rovnice, ono je jich více typů.

Snad takhle: za cíl si můžeme klást, najíd řešení v podobě sin x = y, nebo tan x = y a pod, a odsud určit x. No a tam je to tak, jak jsem psal na začátku. Ale zase ne tak úplně tak, to jsou ta dvě řešení. Pošlete nějaké příklady.

Tak to jsou vhodně vybrané příklady. A skutečně, pokud máme třeba cos = něčemu, bude tam k výsledku přičteno 2kπ, protože cosinus má periodu 2π. Opravdu je to vidět, když si uděláte prostý náčrtek. Na tom náčrtku se poríváte na jednu periodu, tedy o sinu je to ta vlnka, která jde z počádku nahoru, v x = ½π začne klesat, pro x = π je roven nule atd (na přiloženém obrázku je to ta červená křivka). Vy ovšem uvádíte kosinus, to je podobné, jen ta křivka na obrázku je ta modrá. Dále, jak správně uvádíte, se podíváte, kde ta křivka (tedy ten její kousek v intervalu je proťata hodnotou y , ve vašem případě

y = -odmocnina (2)/2 , vidíte, že jsou ty hodnoty dvě, cosinus se dále opakuje s periodou 2π, takže k těm dvěma výsledkům ořipočtete ke každému 2kπ; to jsou další hodnoty, které taky vyhovují. No, a se sinem by to bylo podobné.

Déle tam máte příklad s kotangentou, ta má periodu π, zato protože se nevlní, ale pořád klesá (tangenta by pořád rostle), hledáte to základní řešení v intervalu délky π (například, na obrázky 2 v intervalu (0,π) , dostanete jenom jedno řešení a peioda je π, ta přičítáte kπ.

Co vás možná mate, je, proč i u cosinu, u rovnice cosinus x =0, máte jedno řešení a přičítáte kπ a ne 2kπ. Ve skutečnosti máte i tady dvě ř"základní: řešení, totiž x = π/2 a x = 3π/2. Ke každému z nich přičítáte 2kπ, ale všimněte si, že to druhé řešení je od prvního vzdálené o π. Takže to x2 = x1 + π a místo abyste psala řešení ve tvaru x1 + 2kπ a x2 + 2kπ, tak ty dva zápisy spojíte do jednoh, a píšete řešení v podobě x1 + kπ.

Schválně si to zkuste: x1 = π/2, x2 = 3π/2 = π/2 + π, další řešení bude x1 +2π = π/2 + 2π, další x2 + 2π = x1 + 3π a tak dále.

To je trochu podobné jako s tím, když cos byl nula. Tady máte dva průsečíky, kterí jsou tentokrát vzdáleny o 2π, Takže od řešení x = 0 se odvíjejí další řřešení 0 +2kπ. Od x = 2π by se odvíjela další posloupnost, ael ono to x = 2π je vlastně už obsaženo v té první (pro k = 1), take s tou prcní splývá. Ono je jedno, jestli vezmete řešení 0 +1*2π, nebo 2π + 0*2π.

(Dalo by se to vysvětlit ještě z jiné strany, ale asi nemá smysl to komplikovat.) Zkuste si vyřešit rovnici sin x = 1, schvílně, co dostanete.

Jsem rád, že vám to pomohlo. Tu poslední rovnici máte správně.

A myslím, že vaše rezignace nad tím, že matematiku nechápete, je možná předčasná, přinejmenším víte, co nechápete a jste schopna se na to zeptat, a odpověď pochopit. A to je základ.

Ono to chvíli trvá, než se nahraje