F-kční Posloupnosti

K tomu prvnímu příkladu: Posloupnost xⁿ konverguje pro x z intervalu (-1,1>. přičemž pro |x| <1 konverguje k nule, pro x = 1 jde o konstatntní posloupnost, konvergující k jedné (a pro úplnost, pro x = -1 posloupnost diverguje, konkrétně osciluje). Přitom pro |x| <1-ε, epsilon kladné a menší než 1 je sup |xⁿ-0| = sup |xⁿ| = (1- ε )ⁿ (použijeme monotonii xⁿ pro x kladné). Na intervalu například (0,1) pak sup |xⁿ| = 1

Z toho je vidět, že stejnoměrná konvergence platí pro první a třetí interval. Na čtvrtém, pátém, šestém a osmém intervalu funkce nekonverguje ani nestejnoměrně, na intervalu druhém a sedmém sice konverguje, ale nestejnomérně (což je vidět ostatně i z toho, že limitní funkce není spojití (sedmý interval) respektive nefunguje přehození limit podle x k jedné a n do nekonečna.

U těch druhých dvou by neměl být problém příslušné limity a tak spočítat.