Vyjádřit hodnotu sin bez použití goniometrick

Od: Datum: 06.04.14 23:13 odpovědí: 6 změna: 22.04.14 12:04

Tak ještě jeden dotaz, jestli někdo poradí...

Vyjádřete hodnotu sin 13π/8 bez použití goniometrických funkcí (při výpočtu goniometrické fce použít lze).

Protože je to příklad na komplexní čísla, napadlo mě použít řadu:

sin z = z - z^3/3! z^5/5! - z^7/7!... neboli suma (n=0-nekonečno) ((-1)^n.((13.pi/8)^(2n 1))/(2n-1)!)

Jen nevím, jak ji spočítat, aproximovat na nějaké rozumné číslo. Takže a/ má tato idea vůbec smysl nebo se to musí udělat jinak a za b/ pokud ano, jak na tu řadu. (Wolfram Alpha dává děsivé výsledky... a to jsem dal jen n=50 a ne nekonečno ).

Díky


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 07.04.14 10:15
avatar

No tak tady je otázka, co to znamená "bez použití goniometrických fonkcí (zvláště v konotaci s doplněním (při výpočtu goniometrické fce použít lze) a co to znamená yjádřete hodnotu sin 13π/8 (postup s Taylorovou řadou tuto hodnotu vyjádří přibližně).

Normálně bych použil vztahů jako sin (π + x) = - sin x (a tedy sin 13π/8 = - sin 5π/8 ) a dalších, ale nevím, jestli by to zadavatel nepovažoval za použití goniometrických funkcí. To by se dalo obejít tak, že bych si uvědomil, že sin x je imaginární souřadnice goniometrické jeednotky s argumentem x (no jistě, to je vlastně také použití goniometrických funkcí, ale sinus prostě je goniometrická funkce) a uvědomit si, že ototšení o pí je vlastně středová symetrie, případně použít Moivreovy poučky. Jinak, při použití řady, dostanete, jak pravím, jen přibližnou hodnotu, ale nemusíte sčítat tak dlouhé řady. Lagrangeův tvar zbytku říká, že chyba po sečtení n členů je maximálně

xn+1/(n+1)!

ještě bu se to mělo násobit sinem c nebo kosinem c, kde c je mezi nulou a x). Ono třeba pro deset členů ta chyba nepřecvýší 77; to je ještě hodně, ale s dalšími členy to rapidně klesá a padesát je opravdu hodně. Ještě rychleji samozřejmě by řada konvergovala, kdybychom předběžně pouilu výše popsanou redukci, takše bychom vlastně pošítali sin (nebo možná kosinus) nejaké osminy pí.

Ohodnoceno: 3x
 
Od: zip42*
Datum: 07.04.14 11:50

Díky, večer se tím zkusím trochu prokousat... Neslibuji, že ještě nezaprudím. Bohužel ani komplexní čísla ani goniometrii nemám vůbec v krvi.

Od: zip42*
Datum: 07.04.14 20:50

JInak to zadání jsem pochopil tak, že musím dát hodnotu - číslo (třeba : je to 0,0889827 - což mi tvrdí kalkulačka, věřím jí to) nebo nějaké vyjádření s konstantou: třeba je to bž/15*pí. Ale nesmím napsat, že je to -cos(pí/8) (což mi spočítal Wolfram Aplha, taky mu věřím). Ale cestou, jak popíšu, že k tomu výsledku dojdu, můžu používat goniometrické fce. Protože je to úloha z komplexních čísel, tak je asi dobré to brát přes ně.

Včera jsem trochu přemýšlel právě nějak přes zobrazení v Gausově rovině, ale nenapadlo mi nic použitelného, protože pokud bych vyšel třeba z Eulerova vzorečku e^(i*fí) = cos fí + isin fí, tak mi tam stejně bude strašit ten kosínus.

doplněno 07.04.14 21:11:

Tak jsem se podíval pořádně na Wolfram Alpha a nabízí i takové výsledky, které by byly akceptovatelné.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+%2813*pi%2F8%29

Teď jen vymyslet, jak se k nim dopracovat.

Od: zip42*
Datum: 21.04.14 20:10

Tak jsem na to s odstupem sednul a vyšlo mi toto:

sin 13π/8 = sin (π + 5π/8) = -sin 5π/8 = -sin (π/2 + π/8) = - cos π/8 = - (eiπ/8 - e-iπ/8)/2i

Tím jsem se v posledním výrazu zbavil goniometrických funkcí, ale nenapadá mě, jak to dál zjednodušit. Myslíte, že by to mohl být finální tvar? (To mi přijde skoro až moc jednoduché, možná ale hledám zbytečně složitě). Děkuji.

doplněno 21.04.14 20:13:

Samozřejmě bez toho i ve jmenovateli, chybka se vloudila...

Datum: 22.04.14 11:23
avatar

1. ještě jedna drobná chyblka: ty exponenciály je třeba sečíst, ne odečíst. Výsledek je

- (eiπ/8 + e-iπ/8)/2

(Z definice platí e iα = cos α + i sin α, tedy e -iα = cos α - i sin α, a chcete-li se toho sinu zbavit, musíte oba výrazy sečíst.

2. Jinak je to zajímavá myšlenka, takhle se opravdu goniometrických funkcí zbavíte, ale je to vlastně taková obezlička. Vy jste se jich zbavil v explicitním vyjádření, ale stále jsou tam přítomny implicitně, prostřednictvím definice. Tedy, ona ta komplexní exponenciála se dá definovat i bez sínů a kosínů prostřednictvím Taylorovy řady, ale je to takové divné. A krom toho, v zadání není "vyjádřete sin 13π/8...", ale "vyjádřete hodnotu sin 13π/8...", čili jako výsledek bych čekal nějaké číslo. Což to zkusit takhle:

cos π/8 = cos (π/4):2

cos (π/4) = (sqrt 2)/2

označím π/8 = γ, π/4 = 2γ, a použiji vzorečku

cos 2γ = cos2γ - sin2γ = 2 cos2γ -1

ve kterém cos 2γ znám a hledám cos γ.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: zip42*
Datum: 22.04.14 12:04

Díky, přiznám se, že jsem si nebyl jistý, jak tam dostat nějakou definovanou hodnotu (tj. 30,45,60... stupňů). A použití kalkulačky by hodnotu taky vyjádřilo, ale asi by to nebylo ono.

Taylorova řada mě napadla na začátku, ale pak jsem to zavrhl, že to asi nebude dobrá cesta.

Tak tam napíšu obě možnosti, pořád to bude asi lepší, že je na výběr. Díky moc.

doplněno 23.04.14 02:09:

Tak jsem to dopočítal a vyšlo mi: - 1/2 (2 + 2) . Což je stejný výsledek, jako ukazuje Wolfram Apha, to beru jako jakousi kontrolu. Při řešení jsem musel dost přemýšlet, jak to nemám zažité, ale zas mi to díky tomu docvaklo. Díky moc.

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.