Jak určit Jordanův tvar matice?

Od: Datum: 20.01.14 18:38 odpovědí: 5 změna: 01.04.14 15:22

Dobrý den,

Dokázal by někdo poradit, jak je to s určením Jordanova tvaru matice?

Mám za to, že vyjdou-li všechna vlastní čísla různá, nebo jsou-li některá vícenásobná, ale k těm vícenásobným lze určit odpovídající počet lineárně nezávislých vlastních vektorů, pak je Jordanův tvar podobný diagonální matici (diagonála tvořena vlastními čísly a jinak nuly), zatímco když se mi odpovídající počet vlastních vektorů klasicky pomocí dosazení vlastních čísel do vzorce a vyřešení soustavy rovnic nalézt nepodaří, a musel bych hledat v řetězci zobecněných vlastních vektorů, pak nad ta vlastní čísla na diagonále v Jordanově tvaru, ke kterým jsem vlastní vektor nenašel, píši jedničku (myslím, že se tomu říká superdiagonála).

Ale nejsem si jist, jestli jsem to pochopil dobře...

Děkuji za informace.


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 21.01.14 10:32
avatar

Pokud potřebujete jen Jordanův tvar a nezajímá Vás matice podobnosti, máte v podstatě pravdu, jak so ostatně můžete přesvědčit, když takto vytvořenou matici postupně vynásobíte vektory kanonické báze (tedy, fakticky budete násobit jednotkovou maticí),. Jen aby nedošlo k nedorozumění, ty jedničky napíšete nad vlastní číslo v počtu, odpovídajícím délce řetězce. Podrobněji: Jordanova matice je tvořena Jordanovými buňkami velikosti k*k, tak, že keždému vlastnímu číslu odpovídá jedna až n buněk, kde n je násobnost toho vlastního čísla (takže součet těch k-ček odpovídajících jednomu vlastnímu číslu je právě to n). Počet těch buněk je roven počtu nezávislých vlastních vektorů pro to které vlastní číslo, a ten rozměr je roven délce řetězce, jehož počátkem je příslušný vlastní vektor, no a v té Jordanově buňce máte na diagonále vlastní číslo a nad diagonálou hedničky.

A ještě připomínku k tomu "Jordanova matice bude podobná diagonální", Máte v podstate pravdu, ale proč neřeknete prostě"Jordanova matice bude diagonální"? Termín podobnosti v teorii matic má přesný matematický význam, takže pokud jste si ho vědom, je to O.K. (meboť každá matice je podobná sama sobě), byť, jak říkám, trochu zbytečně sofistikované, ale pokud jste ho chtěl použít ve významu "Jordanova matice bude "vizuálně podobná" (uvozovkami naznačuji, že nejjde o termín, ale heuristický popis) jednotkové, akorát na diagonále nebudou jedničky, ale vlastní čísla", tak to není nejvhodnější (právě pro tu záměnu termínu a popisu)..

Ohodnoceno: 2x
 
Od: hmm
Datum: 21.01.14 15:32

Omlouvám se za ten zbytečný výraz "podobná diagonální". Chtěl jsem napsat, že bude podobná jednotkové. Že bude prostě diagonální, lze samozřejmě napsat také...

Datum: 21.01.14 18:57
avatar

No to je právě to, co tomu vytýkám, ona obecně nebude podobná jednotkové. Znovu: "podobné matice" je přesně definovaný pojem, a znamená, že dvě matice A, B jsou podobné, jestliže existuje regulární matice S taková, že A = SBS-1

Takže ne, že bude podobná jednotkové, to je špatně. A ne, že jde také napsat, že bude diagonální, v tomto kontextu to lze napsat jedině tak.

.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: richardtucek
Datum: 21.03.14 11:57

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Jordanův tvar matice se určí pomocí vlastních čísel matice. Jsou-li všechna vlastní čísla jednoduchá, je Joradnův tvar matice diagonální matice s vlastními čísly na diagonále. Vlastní čísla matice jsou kořeny charakteristckého polynomu.

Pokud je vlastní číslo vícenásobné, je situace složitější. Přísluší mu tolik Jordanových buněk, kolik přísluší lineárně nezávislých vlastních vektorů k tomuto číslu.

Více informací též na www.tucekweb.info

S pozdravem Richard Tuček

Ohodnoceno: 0x
 
Od: rtucek
Datum: 01.04.14 15:22

Jordanův tvar se určí tak, že se najdou vlastní čísla matice. Jsou-li všechna vlastní čísla (kořeny char. polynomu) jednoduchá, je Jordanův tvar diagonální matice s vlastními čísly na hlavní diagonále, mimo ni jsou nuly.

viž též můj web: www.tucekweb.info

R. Tuček

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.