Planimetrický úkol

Úlohu lze řešit pomocí mocnosti bodu ke kružnici. Platí:

|AX| ⋅|AY| =|MT|^2

2|AY|⋅ |AY| = |MT|^2

|AY| = |MT|/√2 = |MT|⋅√2/2

Bod Y bude průsečík kružnice o středu M a poloměru r = |MT|⋅√2/2 s danou kružnicí k.

Místo bodu M má být A

|AX| ⋅|AY| =|AT|^2

2|AY|⋅ |AY| = |AT|^2

|AY| = |AT|/√2 = |AT|⋅√2/2

Bod Y bude průsečík kružnice o středu A a poloměru r = |AT|⋅√2/2 s danou kružnicí k.

1) Z bodu A sestrojíme tečnu ke kružnici a bod dotyku T.

2) Nad úsečkou AT sestrojíme čtverec a jeho střed O.

3) Sestrojíme kružnici (A; r = |AO|).

4) Průsečík této kružnice s danou kružnicí je bod Y. Sečna je pak přímka AY.

V mém případě má úloha dvě řešení. Je-li bod více vzdálen než je |AO| od dané kružnice, úloha nebude mít řešení. V případě, že se kružnice dotkne dané kružnice, bude mít úloha jedno řešení.

Polovina úhlopříčky čtverce má právě tu požadovanou délku |AT|⋅√2/2.

Řešení x je perfektní. Já jen dodám, že podmínkou řešitelnosti (v podobě ověřitelné dřív, než začnu konstruovat tečnu) je to, aby vzdálenost bodu A od kružnice nebyla větší než dva její poloměry (čili než její průměr), a že správnost konstrukce plyne i z Ekleidovy věty ve tvaru a² = c*c_a: vskutku, mocnost bodu A ke kružnici je rovna kvadrátu délku tečny, tedy |TA|², a ten je, podle Eklidovy věty, aplikované na trojúhelník TAE, roven |AE|*|AO|. (No a střed čtverce, jak řečeno výše, půlí úhlopříčky.)

Jinak vysoce hodnotím perfektní obrázek a rád bych dal x bod, takhle aspoň .