Zdánlivě jednoduchý příklad na limity

No,jakými úvahami. Napoprvé je asi třeba vyjít z definice. Zkusme třeba limitu výrazu 1/|x| pro x blížící se k nule. Pak v nějakém okolí bude |x| libovolně malá, konkrétně pro každé kladné ε lze zvolit tak malé okolí nuly, že |x| <ε. No a názorně je jasné, že převrácená hodnota, tedy 1/|x|, poroste nade všechny meze, což podle definice by mělo znamenat, že pro libovolné (kladné, pro zjednodušení)K bude 1/|x|> K. To ale snadno dokážeme, stačí zvolit ε = 1/K.

V tomto případě ovšem |x| jde k nule kladnými hodnotami, takže nerovnost |x| <ε =1/K je totéž jako nerovnost 1/|x|>1/ε = K. Když budeme zkoumat limitu 1/x, tak tuto úvahu lze provést jen pro kladné x, čili dokážeme, že 1/x má limitu zprava rovnu +nekonečno. Pro x záporné se násobením x nerovnost obrací, čili 1/x má limitu zleva rovnu -nekonečno.

Tyhlety úvahy ovšem nebudeme dělat pokaždé znovu a znovu, stačí, že víme jak na to, a zapamatujme si něco o limitě f(x)/g(x). když limita f(x) je rovna A a limita g(x) je rovna B, Jistě víte, že když je B ≠ 0, je limita podílu rovna A/B , tedy podílu limit.

Pokud je A = B = 0, jde o tak zvaný "neurčitý výraz" (poněkud nepřesně, ale názorně) a limita podílu může být celkem cokoli; můžeme na to jít třeba L´Hospitalem, ale v jednotlivých případech i jinak. Ale to je jiná opera.

No a když je A≠0 a B = 0, pak nejde o neurčitý výraz (jak by se někdo mohl mylně domnívat). Definice by si s tím poradila, ale pro nás stačí si zapamatovat, že je-li A kladné a g(x) se k nule blíží kladnými hodnotami, bude limita plus nekonečno. Ostatní varianty si jistě promyslíte. A chcete-li to ještě stručněji a názorněji, můžete si zapamatovat, že 1 lomeno "kladnou nulou" (to je pomocný mnemotechnický termín, matematicky to samozřejmě nic není) je plus nekonečno, 1 lomeno "zápornou nulou" je mínus nekonečno, a to nenulové číslo A už jen ovlivni znaménko výsledku.

Výsledek nemůže být plus nekonečno a minus nekonečno. lim 2/x (x -> 0) prostě neexistuje.