Zdánlivě jednoduchý příklad na limity

Od: Datum: 20.12.13 17:43 odpovědí: 5 změna: 20.12.13 19:41

Prosím vás, mám příklad lim x-2/x. X se blíží k nule. Výsledek znám, minus nekonečno a plus nekonečno. Jen nevím, jakými úvahami se k tomu dospěje. Díky.


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 20.12.13 18:20
avatar

No,jakými úvahami. Napoprvé je asi třeba vyjít z definice. Zkusme třeba limitu výrazu 1/|x| pro x blížící se k nule. Pak v nějakém okolí bude |x| libovolně malá, konkrétně pro každé kladné ε lze zvolit tak malé okolí nuly, že |x| <ε. No a názorně je jasné, že převrácená hodnota, tedy 1/|x|, poroste nade všechny meze, což podle definice by mělo znamenat, že pro libovolné (kladné, pro zjednodušení)K bude 1/|x|> K. To ale snadno dokážeme, stačí zvolit ε = 1/K.

V tomto případě ovšem |x| jde k nule kladnými hodnotami, takže nerovnost |x| <ε =1/K je totéž jako nerovnost 1/|x|>1/ε = K. Když budeme zkoumat limitu 1/x, tak tuto úvahu lze provést jen pro kladné x, čili dokážeme, že 1/x má limitu zprava rovnu +nekonečno. Pro x záporné se násobením x nerovnost obrací, čili 1/x má limitu zleva rovnu -nekonečno.

Tyhlety úvahy ovšem nebudeme dělat pokaždé znovu a znovu, stačí, že víme jak na to, a zapamatujme si něco o limitě f(x)/g(x). když limita f(x) je rovna A a limita g(x) je rovna B, Jistě víte, že když je B ≠ 0, je limita podílu rovna A/B , tedy podílu limit.

Pokud je A = B = 0, jde o tak zvaný "neurčitý výraz" (poněkud nepřesně, ale názorně) a limita podílu může být celkem cokoli; můžeme na to jít třeba L´Hospitalem, ale v jednotlivých případech i jinak. Ale to je jiná opera.

No a když je A≠0 a B = 0, pak nejde o neurčitý výraz (jak by se někdo mohl mylně domnívat). Definice by si s tím poradila, ale pro nás stačí si zapamatovat, že je-li A kladné a g(x) se k nule blíží kladnými hodnotami, bude limita plus nekonečno. Ostatní varianty si jistě promyslíte. A chcete-li to ještě stručněji a názorněji, můžete si zapamatovat, že 1 lomeno "kladnou nulou" (to je pomocný mnemotechnický termín, matematicky to samozřejmě nic není) je plus nekonečno, 1 lomeno "zápornou nulou" je mínus nekonečno, a to nenulové číslo A už jen ovlivni znaménko výsledku.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: 212121
Datum: 20.12.13 18:24

Výsledek nemůže být plus nekonečno a minus nekonečno. lim 2/x (x -> 0) prostě neexistuje.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 20.12.13 18:47
avatar

Dobá připomínka. Tazatel měl ovšem na mysli limity jednostranné; text dotazu byl orientační, ale měl to napsat.

doplněno 20.12.13 18:49:

Tedy aspoň doufám, že to tak měl na mysli, aspoň já jsem ho tak pochopil, ale za něj samozřejmě mluvit nemohu. Za saba ano, a za svou odpovědí stojím.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: synek*
Datum: 20.12.13 19:22

Děkuji všem! Měl bych ještě jeden, prosím. Lim (1-cosx)/x^2. Samozřejmě, x se blíží nule. Výledek prý 1/2. Netuším, jak se

zbavit toho x.

Datum: 20.12.13 19:41
avatar

Tohle je elementární příklad v tom smyslu, že je snad v každé sbírce příkladů mezi prvmími.

Zkuste L´Hospitala, nebo rozšíření výrazem (1+cosx) převést na (sin x)/x; to byste měl znát.

Ohodnoceno: 1x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.