Počítání s limitami

Od: Datum: 20.11.13 19:37 odpovědí: 22 změna: 23.11.13 12:20

Prosím, zasekl jsem se na takto jednoduchém příkladu.

Limita (x-2)/x,,,,, x se blíží limitně nule. DĚKUJI!


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Od: zvidalek*
Datum: 21.11.13 10:13

Sakra, dík za prográmek. Ale jak je vidět, názory se liší.

Od:
Datum: 21.11.13 23:43

Existují pouze jednostrané limity _ limita zprava se nerovná limitě zprava, takže limita v bodě 0 neexistuje.

Viz např.:



Ohodnoceno: 0x
 
Od:
Datum: 22.11.13 00:07

Správně má být:

Existují pouze jednostrané limity _ limita zprava se nerovná limitě zleva, takže limita v bodě 0 neexistuje.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 22.11.13 14:12
avatar

V čem jako se liší? A jaké názory?

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 21.11.13 07:20
Sakra, ja si myslel, ze to bude -∞ :(
(x-2)/x = (x/x) - (2/x) = 1 - 2(1/x) = 1 - 2.∞ = -∞
Ohodnoceno: 0x
 
Od: zvidalek*
Datum: 21.11.13 10:15

Jak to? Ve jmenovateli zůstává x a to "je" nula, což nelze.

Datum: 23.11.13 11:05
avatar

To špatně chápeš. Yo x e jmenovateli "není" nula, to se k nule blíží stejně jako v původním výraze, a výpočet limity se právě zabývá tím, co se s tím výrazem děje při tomto procesu. Co nelze, je "vypočítat " tu limitu dosazením nuly, chubný by tedu byl zápis

lim 1/x = 1/0

co by to bylo, to 1/0, to nemá smysl. Co se ve skutečnosti s tím výrazem děje, je to, že jeho hodnota v absolutní hodnotě roste nade všechny meze, tedy že lim |1/x | = +∞. Sám výraz pak v průběhu blížení se může být stále kladná, pak limita je rovna +∞ (to je to, co jsem někde dole chtěl vyjádžit zápisem, přísně vzato nepsprávným, leč snad instruktivním, 1/+0 = ∞), nebo stále záporný, pak limita bude -∞, nebo střídat znaménko, pak limita neexistuje (názorně to lze říci tak, že máme dvě potenciální limity a výraz se nemůže rozhodnout, ke které půjde, takže nakonec nejde k žádné). Chyba či přehlédnutí rádce luke123 spočívá právě v tom, že zapomněl na tu absolutní hodnotu, (A abych vyčerpal všechny možnosti, on by takový výraz mohl při x blížícím se nule opakovaně nabývat nyli (například výraz 1/(x sin 1/x) ) a pak by výpočet limity postrádal smysl). V našem případě tedy pro x kladné je stále kladný a má limitu 1/+0 atd.l k tomu, zda už řešení rozumíš, případn Na závěr bych požádal, aby ses vyjádřil k tomu, zda už tomu rozumíš nabo co ještě není jasné (ještě shrnu řešení: limita zkoumaného výrazu zprava je + ∞, limita zleva je -∞ a oboustranná limita neexistuje)

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 22.11.13 13:54
avatar

No chyba úvahy je v tom, že liim (1/x) je ±∞ podle toho, zda se x blíží k nule kladnými (limita zprava) nebo zápornými )limita zleva) hodnotami.Trochu nepřesně, ale pokud rozumím, jak je to myšleno, tak snad docela názorně lze říci, že (pro účely limit) 1/+0 = ∞, 1/-0 = -

Jinak samotné rozdělení na zkoumané limity na součet (či vlastně rozdíl) dvou limit je v pořádku, ale musím přitom pracovat s jednostrannými limitami. Příslušná věta praví že limita rozdílu je rovna rozdílu limit, pokud obě limity vpravo existují a jejich rozdíl má smysl (tedy větu nelze aplikovat na příklad, kdyby tam vyšlo ∞ - ∞; v takových případech mluvíme (zase poněkud nepřesně, leč dosti názorně) o neurčitých cýrazech. (Ale to není tento případ.)

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 21.11.13 08:06
avatar

si myslím, že by se dalo použít lHospitalovo pravidlo : Limitu zderivujte. Co zbude po derivaci, je výsledek.

doplněno 22.11.13 12:11:

Uf. Doufám že si to pamatuji dobře. Podmínkou LHospitalova pravidla je limita typu 0/0 nebo nekonečno/nekonečno. Ve škole nám povídali, že když pochopíte jak se tyto příklady vlastně počítají, pak znáte výsledek ještě dříve, než dočtete zadání. Výraz napište jako zlomek, zderivujte odděleně čitatele i jmenovatele. Když má X mocninu, pak derivujte tak dlouho, dokud úplně nezmizne. Co zbude, je výsledek.

Kdybyste měl ve zlomku (3x²+50x)/(100x-1000), pak můžete klidně vystřelit od pasu, že výsledek je 6.

doplněno 22.11.13 16:06:

poslyšte rádci. Zas jako obvykle všichni víte co je špatně, ale taky jako obvykle vám chybí řešení otázky. Marně tu nějaké hledám.

Ohodnoceno: 2x
 
Od:
Datum: 22.11.13 12:40

Limita v tomto případě neexistuje a L’Hospitalovo pravidlo na tento příklad nelze aplikovat - viz graf:

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 22.11.13 13:43
avatar

Jak řešeno níže, nejsou splněny předpoklady věty, tudíž nemusí (i když může) být splněno tvrzení; na každý pád toto pravidlo nelze použít. Takže formální zápis je správně, ale výsledek je špatně, je to vlastně protipříklad, ukazující, že bez splnění podmínek není věta použitelná..

Poznámce o případu, kdy zlomek má tvar (3x²+50x)/(100x-1000) , jaksi nerozumím. Pokud je myšlana limita pro x = 0 (což není výslovně řečeno, ale z kontextu bych to tak chápal), pak mohu klidně vystřelit od pasu, že limita je nula.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 22.11.13 16:53
avatar

Hned jako první odpovídá x"

Limita neexistuje:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit%28%28%28x-2%29%2Fx%29%2C+x%2C+0%29

a tuto odpověď rozvádí v dalších příspěvcích. Nicméně, je pravda, že nenapsal explicitně, čemu že se rovnají ty jednostranné limity, i když uvnitř jeho odkazů to je. Tak si dovolím napsat to ještě sem, přímo do vlákna:

Limita (x-2)/x = -∞ když x se blíží limitně nule zprava

Limita (x-2)/x = ∞ když x se blíží limitně nule zleva

Vlastně by se to dalo vyčíst i z příspěvku Luke127 a následné opravy, ale, pravda, je to tam poněkud zašifrovaně.

A když už se tedy o tom bavíme, tak obrat

Limitu zderivujte.

(ještě napsaný tučnými písmeny) je tak trochu nesmyslný.

doplněno 22.11.13 17:06:

Jina rádce x, krom toho, že otázku zodpověděl hned v prvním příspěvku, odpověděl i v odpovědi dnes 12:40. Možná by to chtělo trochu zdrženlivosti.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 23.11.13 12:20
avatar

A vlastně, když o tom tak přemýšlím, není to poslední tak nemástná poznámka. Když tam to řešení nevidíte vy, o to pravděpodobnější je, že ho tam nevidí tazatel. Ale tazatel už nepíše, takže to nemoho posoudit, nicméně měl by. Uvidíme.

doplněno 23.11.13 12:20:

nemístná poznámka

Ohodnoceno: 0x
 

 

Od: axus®
Datum: 21.11.13 10:42
avatar

Jak pise figurek. Pouzit LHospitalovo [lopitalovo] pravidlo.

Citatel i jmenovatel jsou funkce (jde o limitu podilu dvou funkci), kde kazdou funkci zvlast zderivujeme a tedy vznikne limita podilu derivaci puvodnich funkci.

Musi byt splnena pdminka, ze funkce ve jmenovaleti i jeji derivace musi byt ruzne od nuly (kvuli deleni nulou) a ze limity obou funkci (v citateli i ve jmenovateli) jsou bud obe nulove nebo obe nevlastni (po spocteni jejich limit vyjde nula nebo nekonecno).

-

Obe podminky jsou zde splneny, takze pravidlo lze pouzit.

Ohodnoceno: 0x
 
Od:
Datum: 21.11.13 23:33

LHospitalovo pravidlo se na tento příklad nedá použít, neboť se nejedná o typ 0/0. Viz např.: http://www.aristoteles.cz/mat…ty-l-hospitalovo-pravidlo.php

Ohodnoceno: 0x
 
Od: axus®
Datum: 22.11.13 09:42
avatar

Ze se nejedna o typ 0/0 je pravda. Jedna se totiz o typ nekonecno/nekonecno. Coz je druha moznost te podminky. Jak mas konec koncu i uvedeno v tom Tvem odkazu.

Pouzit tedy pravidlo lze.

Ohodnoceno: 0x
 
Od:
Datum: 22.11.13 12:28

Jedna se totiz o typ nekonecno/nekonecno? *ee*

Ohodnoceno: 0x
 
Od: axus®
Datum: 22.11.13 12:30
avatar

A jo. Omlouvam se. Ja nevim proc sem byl presvedceny, ze se x blizi k nekonecnu a ne k nule.

Spatne sem cet zadani. Moje chyba.

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 22.11.13 19:44
avatar

Bod především za otevřené přiznání chyby. To není každému vlastní.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 22.11.13 13:15
avatar

Obe podminky nejsou zde splneny, takze pravidlo nelze pouzit.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 22.11.13 14:47
avatar

Ono je to tu myslím dostatečně vysvětleno v jednotlivých příspěvcích i odkazech, ale snad neuškodí zopakovat si

L´Hospitalovo pravidlo souhrnně, možná i méně názorně:

Toto pravidlo má vlastně dvě varianty (viz dále; teď nerozlišuji mezi variantou nula lomeno nulou a nekonečno lomeno nekonečnem),. V obou případech budu předpokládat, že počítám s limitou pro x blížíci se k nule, abych si nekomplikoval zápis.

Varianta první: nechť lim f(x) = lim g(x) = 0 nebo f(x) = lim g(x) = ∞, a nechť existuje lim [ f´ (x)/ g´ (x)]. Pak existuje rovněž limita

lim [ f (x)/ g (x)] a obě tyto limity jsou si rovny. (Tato věta platí, i když místo limita použijeme "limita zleva" nebo "limita zprava".

Když porovnám toto tvrzení s tím jak ji aplikuje Figurek (odkazuji se na něj, protože jeho zápis je nejúplnější a lze ho nejsnáze analyzovat, ale týká se to samozrřejmě i ostatních, kdu se na toto pravidlo odvolávali), vidíme, že je splněna podmínka existuje lim [ f´ (x)/ g´ (x)] (tu obvykle ani nemusíme ověřovat, ona se větěinou "ověří sama" v průběhu výpočtu tím, že nám ta limita vyjde), dále platí

lim g(x) = 0

ale už není splněna podmínka lim f(x) = 0, čili !nemúžeme se spolehnout" na její tvrzení. (Ono by po případě, obecně vzato, mohlo platit, ale muselo by se pak dokazovat jinak; zde, jak ukázali ostatní, neplatí).

Druhou podobu dopíšu v doplnění.

doplněno 22.11.13 16:16:

Druhá podoba:

nechť lim f(x) = lim g(x) = 0 nebo f(x) = lim g(x) = ≠ 0. Pak existuje lim [ f (x)/ g (x)] je rovna podílu f´ (0)/ g´ (0) . Výhoda této podoby je možná někdy jednodušší použití, ale zato vylučuje opakované použití tím, že derivujeme víckrát po sobě, jak uvádí figurek. A, samozřejmě, tyto dvě podoby lze často použít obě, tedy můžeme si vybrat, ale ne vždy; někdy funguje jen jedna z nich. A poslední, ta limita ve druhém podpřípadě může být i minus nekonečné, přesněji, předpoklad je splněn, pokud lim f(x) = ±

doplněno 22.11.13 17:33:

nějak mi zmizel konec, asi jsem se předčasně uklepl, či co. Mělo to končit:

ta limita ve druhém podpřípadě může být i minus nekonečno, přesněji, předpoklad je splněn, pokud lim f(x) = ±∞. g(x) = ±∞. a to pro jakoukoli kombinaci plusů a mínusů.

doplněno 22.11.13 20:21:

A vúbec se mi tam něco vytratilo, takže uvádím tu druhou podobu LH. pravidla ještě jednou a pořádně:

nechť lim f(x) = lim g(x) = 0 nebo flim f(x) = ±∞. g(x) = ±∞ (při jakékoli kombinaci plusů a mínusů). Nechť dále existují vlastní derivace

f´(0)¨, g´ (0), při čemž g´ (0)≠ 0. Pak existuje lim [ f (x)/ g (x)] a je rovna podílu f´ (0)/ g´ (0) .

Výhoda této podoby je možná někdy jednodušší použití, ale zato vylučuje opakované použití tím, že derivujeme víckrát po sobě, jak uvádí figurek. A, samozřejmě, tyto dvě podoby lze často použít obě, tedy můžeme si vybrat, ale ne vždy; někdy funguje jen jedna z nich.

No a vztah k řešení původního problému? Vlastně žádný, původní problém vyřešil x a jeho odpověď je, že limita neexistuje, protože existují pouze jednostranné limity, a ty jsou navzájem růzvé. Aby bylo vše pohromadě, napíši sem to, co x má uvnitř odkazů a na různých místech vlákna:

(x-2)/x = (x/x) - (2/x) = 1 - 2(1/x) ,

liim (1/x) je ±∞ podle toho, zda se x blíží k nule kladnými (limita zprava) nebo zápornými (limita zleva) hodnotami.

Závěr:

Limita (x-2)/x = -∞ když x se blíží limitně nule zprava

Limita (x-2)/x = ∞ když x se blíží limitně nule zleva

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.