Jaký je rozdíl mezi intervalem a množinou?

Tak tomu není. I množina, která není intervalem, může mít nekonečný počet prvků (třeba sjednocení dvou disjunktních intervalů, nebo množina všech kružnic v rovině). A se slovy "dokážeš je spočítat" bych zacházel opatrně, jsou i nekonečné spočetné množiny, takže by to chtělo vyjasnit, co tím myslím (dá se říci, že je to pravda, ale opatrně s tím!).

Zjednodušeně řečeno, interval je speciální druh mnžiny. Trochu podrobněji, interval je množina reálných čísel, ležících mezi dvěma reálnými čísly (interval omezený), nebo vpravo od nějakého reálného čísla (zdola omezený, zhora neomezený), vlevo od reálného čísla (zhora omezený, zdola neomezený). v krajním případě celá reálná osa. Podle toho, zda ty vymezující body patří k intervalu nebo ne, mluvíme o uzavřeném intervalu (oba do něj patří), otevřený interval (ani jeden bod do něj nepatří) případně polootevřený interval (dalo by se říci i polouzavřený, ale tento obrat se nějak nepoužívá. ) Interval popisujeme krajními body (menší z nich píšeme vlevo), pokud je na některé strane neomezený, tak na té straně napíšeme symbol pro nekonečno (s plusem nebo mínusem); nekonečno není reálné číslo, takže na té straně je interval vždy otevřený. (Jak zapíšeme, zda bod k intervalu patří či ne, schválně nenapíšu, rozumím ti tak, že to víš. (Pokud ne, doplním.)

Interval je množina všech reálných čísel mezi dvěma kraji. Konkrétně, na příklad: interval <2;9> je množina všech reálných čísel x, pro která platí 2≤ x ≤ 9. Tedy patří tam jakékoli takové číslo a žádné jiné. Například tam patří číslo 3, číslo 2, číslo pí, číslo 9 a tak dále a tak dále. Už tam ale nepatří třeba číslo 9,00000000000000000000000000000000000000001. Interval <3;9) je skoro stejný, liší se jen tím že do něj nepatří číslo 9. Naproti tomu třeba množina všech racionálních čísel x, pro která platí 2≤ x ≤ 9, už není interval (i když jsem už viděl označení "racionální interval", ale to je spíš takové pomocné pojmenování).

Na druhou stranu i já se musím přiznat, že vám úplně nerozumím. Co prosím myslíte otáskou "kdy danný interval platí."? Tahle otázka mi nedává smysl. Nějaká množina buď je intervalem, nebo není, ale jak má interval platit? Nemohl byste tuto otázku rozvést na nějakém příkladu?

Tak teď už tomu rozumím. Otázka není "kdy danný interval platí." (což je otázka nesmyslná). ale kdy je ta která konkrétní množina intervalem. Obecná odpověď je jednoduchá, "když splňuje definici intervalu". A teď konkrétně:

příklad první, b (a odložím): není interval. Obsahuje sice reálná čísla mezi nulou a nekonečnem, ale ne všechna, jen celá

e: je interval (obsahuje všechna reálná čísla mezi 3 a nekonečnem, je to interval (3, plus nekonečno)

a: to je takové na první pohled divné, jsou to čísla mezi i:je to interval 2 a 2 (včetně) no ale je to interval, někdo by mluvil o zvrhlém (jednobodovém) intervalu

i: zase takové divné, jde o čísla mezi 2 a 1 (větší nebo rovno neř 2 a menší než 1) a žádné takové není, nicméně podle té definice z Wiki to nevadí, je to prostě zase "zvrhlý" interval, rovný prázdné množině.

S ostatním si poradíš(?)

Jen se pro jistotu podívej do učebnice, jak tam definujete interval. Kdyby tam bylo napsáno, že dolní hranice intervalu musí být menší než ta horní, tak by příklady a a i intervaly nebyly.

Mořná ještě doplním 3.24 b... není interval, obshuje reálná čísla větší než 2 a reálná čísla menší než -2 (je to sjednocení dvou intervalů, které není intervalem.

Zdá se, že si stále nerozumýme, tak to zkusím jinak, krok za krokem. Měl jsi dvě otázky:

1. Jaký je rozdílmezi intervalem a množinou?

2. kdy danný interval platí

O té druhé otázce jsme se dohodli, že je nesmyslně položená (krom toho, že "danný" nic není, chtěl jsi napsat "daný") a zatím ji vynechám. Vrátím se k ní později.

K té první otázce: Říkáš, že množiny jste měli, tak snad víš, co to je. Tedy, ona vlastně pojem mnižiny není přesně definován, jen popsán. Nemůžeš definovat všechno, někde s něčím musíš začít, vzít to jako základní pojem, A to je právě množina. Ta je popsána (ne definována) jako nějaký soubor, sohrn nějakých objektů, třeba množina, obsahující čísla 1, 3 a 57 (tahle množina je konečná, má tři prvky a zapisujeme ji {1;3;57}), nebo množina všech bodů ndané kružnice, nebo množina všech řešení nejaké kvadratickérovnice... to je číselná množina a má obvuykle dva prvky. Přesněji, pokud mluvím o množině reálných kořenů, taková má buď dva různé prvky, nebo jeden prvek, nebo žádný prvek - je prázdná. Dále jste si řekli, že mnořina je určena svými prvky, tokže existuje jen jedna množina.

Tohle je ti jasné? Potvrd mi, že tomuto rozumíš, nebo napiš, čemu zde případně nerozumíš a pak půjdeme dál.

Dobře, tak dál. Interval je speciální případ množiny, To je nahrubu ten rozdíl: každý interval je množina, ale ne každá množina je interval. Interval je především číselná množina, speciální podmnořina reálných čísel, Například všechna reálná čísla jsou interval, označujeme ho (-infty, infty) (místo infty si představ ležatou osmičku, znak pro nekonečno). A obecná definice intervalu? Zhruba řečeno, jsou to všechna reélná čísla mezi dvěma mezemi. Zatím jasné, nebo už zde začínají potíže?

možná svou otázku zjednotuším a upřesním: Už víš, co je to interval? Pokud ne, co ti není jasné?

Tak skvěle. Omlouvám se, že opakuji známé již věci, šlo mi o to, abychom si vysvětlovali opravdu to, co je vysvětlit potřeba.

Takže víme co je v matematice interval, Ještě napíšu příklady, to nikdy neuškodí.

Budu mluvit o omezených intervalech s krajními body 2 a 3. Interval (2,3) je množina všech reálných čísel větších než 2 a menších než 3, tedy kraje do něj nepatří. Mluvíme o otevřeném intervalu (proč právě otevřený, nebudu vysvětlvat; prostě když do intervalu nepatří jeho kraje, říkáme mu otevřený, tak to je a tečka). Interval <2,3> je množina všech čísel, větších nebo rovných dvěma, tedy stručně reálná čísla mezi dvěma a třemi, včetně krajů, (Uzavřený intwerval)

<2,3) je (polootevřený) interval, množina mezi 2 a 3, včetně dvojky, ale bez trojky.

Ale co by byl třeba interval (3,2), jehož "horní" okraj je menší než "dolní" okraj? To se běžně raději nepoužívá, ale zakázané to není (leda byste to měli zakázané ve své učebnici, raději se podívej. Ono ne všechny pojmy definují všichni matematici stejně, třeba přirozená čísla asi budete chápat jak čísla 1,2,3 atd., ale jsou tací, kteří pokládají za přirozené číslo i nulu; nebo někdo chápe čtverec jako speciální případ obdélníku, což mi přijde rozumné, ale někdo tvrdí, že čtverec není obdélník). No a když tedy vyjdu z toho, že je to taky interval, měl by obsahovat všechna čísla větší než 3 a zároveň menší neč 2. Taková čísla ale neexistují, takže by to znamenalo . že (3,2) = Ø a tedy že i prázdná množina je interval (Uzavřený nebo otevřený? Tím bych se nezabýval, ale pokud Tě to zajímá, z hlediska topologie je to zárověň uzavřená množina a otevřená množina, Ale to je taková pro nás specialita, zapomeň na to.) No a například interval <2,2>by byla množina všech čísel, větších nebo rovných dvěma a zároveň menších nebo rovných dvěma. Takové číslo je jen jedno, totiž dvojka, takže <2,2> ={2} a i jednobodová množina je interval. (Mimochodem, interval (2,2) je taky prázdný a přitom ten hořejšek není menší než dolejšek, je mu sice roven, tyakže to někomu taky přijde dívné, ale je to asi přijatelnější než ten příklad (3,2) = Ø.)

Tím skončím s příklady, odnesu si z toho, že prázdná množina a jednobodová množina jsou taky intervaly. Teď to odešlu, nemusíš mi nic potvrzovat (leda by ses chtěl na něco zeptat), a pokračovat budu doplněním této odpovědi.

Tak teď se vrátím k druhé otázce, kterou pochopím takto: jak se zjistí, zda daé konkrétní množinyjsou intervaly či ne. V zásadě musíme zjistit, jestli se dají najít taková dvě "čísla" a, b (nekteré z nich nemusí být reálné číslo, ale patřit mezi rozšířená reálná čísla, například místo b může být + infty), aby ta množina se dala popsat tak, že jsou to všechna reálná čísla (tuhle část patrně máte na mysli tím "V zápisu nesmí být N, Q, Z, pouze R" ; mně se tato formulace moc nelíbí, ale pokud to myslíte tak, jak píšu, budiž), ležící mezi a a b (bez ohledu na to, zda samotná "čísla" a, b v té množině leží či nikoliv). Vezměme to tedu po řadě.

3.24

a tohle jsem vlastně probíral v těch příkladech výše. Lze napsat {1} jako množinu všech reálných čísel mezi 1 a 1 (včetně), je to interval (uzavřený).

b: Tato množina obsahuje čísla mezi nulou nevčetně a plus nekonečnem, ale jenom celá, ne všechna reální (mohu říci, že je to množina všech celých čísel z intervalu (0,+infty) . ale není to interval).

c: tohle je obtížně čitelné, ale zdá se, že hledáme přirozená čísla (to je čitelné dobře) menší než osm. To omezení horní mezí tam je, ale interval to není (nejsou tam všechna čísla menší než 8). Dokonce je to konečná množiva (což interval, který není jednobodový nebo prázdný, být nemůže). Můžeme napsat {x ε N; x <8} = {1,2,3,4,5,6,7}

d: Celá reálná osa je interval (otevřený), můžeme psát R = (-infty, + infty)

e: prázdnou množinu bych chápal jako interval jak jsem popsal v těch příkladech, například jako interval (0,0). Pokud by měl pan učitel námitky, tak máš smůlu, ale spíš si myslím, že je mít nebude.

f: Tady je to snad jasné, je to přímo v zadání . Jedná se o (plootevřený) interval <1,2)

g: To je takový ten polochyták, podobý příklad jsem uváděl výše, tak to nechám na tobě.

Druhá skupina je trochu komplikovanější. Přeste ukážu jen některé a další si zkus sama , napíšu jen pro kontrolu výsledek.

a: |x| ≤ 1 je totéž, jako že x ≤ 1 a zároveň -1≤ x, neboli -1 ≤x ≤ 1. jde o uzavřený interval <-1.1>

b: |x|> 2 je totéž, jako "buď x> 2, nebo -x <-2", tedy nejde o interval (je to sjednocení dvou intervalů, ale není to množina souvislá, "je v ní mezera"

c: interval

d:interval (malinko chyták)

e: |X-2| ≤ 5 jsou všechna reálná čísla x, vzdálená od 5 méně než o 2, tedy taková, že -3 ≤ x ≤ 7, jde tedy o uzavřený interval

f: Otevřený interval

Tak napiš, jestli to pomohlo, nebo jestli jeještě něco nejasné

Nejsem si jist, na co se to ptáš. myslel jsi příklad 3.25 a? Tam je zadání |x|≤1. cos měl na mysli?

Leda že bys to myslel tak, že by řešením tohoto příkladu vyřlo, že příslušná množina by byla množina těch x, pro která x ≤ 1 a zároveň x <-1. tAK TO OVŠEM VYJÍT NEMŮŽE, TAKŽE OTÁZKA POSTRÁDÁ ZMYSL. A kdyby tyto dvě podmínky byly přímo zadány, tak by to jednak byla úplně jiná úloha, a jejím řešením bu byl průnik (je tam "a zároveň") dvou intervalů, tedy otevřený interval

(-infty, -1 )

Anebo jsi měl na myslí úlohu, jejímž řešením by bylo "buď x>1, nebo -x <-1", ta by mohla vzniktout ze zadání |x|> 1 a to by nebyl interval, to je pravda.

Jaksi nevím, jak ještě jinak to lze vysvětlit.

Každý interval je množina.

Ne každá množina jke interval.

Pravidlo je definice intervalu. Tu už znova opisovat nebudu, otevři si odkaz http://cs.wikipedia.org/wiki/Interval_(matematika) a přešti si tam odstavec "typy intervalů"; množina reálných čísel je interval, když má jeden z tam popsaných tvarů.