Matematika- lineární závislost a nez vektorů

Od: Datum: 06.10.13 11:53 odpovědí: 3 změna: 06.10.13 14:07

Mám otázku, ví někdo, jak se pozná, zda jsou vektory lineárně závislé a nezávislé?


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 06.10.13 12:29
avatar

Především se zeptám: potřebujete definici nezávislosti, nebo tu znáte a zajímají vás technikym, jak ji u konkrétního sustému vektorů zjistit? A podotázna: hcete to v rovině a prostoru, nebo obecně v n dimenzích?

Ohodnoceno: 2x
 
Od: jardik*
Datum: 06.10.13 12:32

Řeknu to takhle řeším soustavu 3 rovnic o 3 neznámých výjdou mě celkem tři čísla... Mám určit, zda je soustava lineárně závislá a nezávislá.

Datum: 06.10.13 14:07
avatar

Tady konkrétně je nezávislost dána tím, že vám vyšly tři čísla. Kdyby byla závislá, tak by vym nevyšlo jednoznačné řešení, dostal byste jich nekonečně mnoho.

Podrobněji: soustava tří rovnic o třech neznámých je určena jednak maticí soustavy, jejíž 3 řádky jsou vektory z koeficientů (každý řádek tedy odpovídá jedé rovnici), a pak rozšířenou maticí soustavy, kde každý řádek prodloužíme o hodnotu pravé strany (takže poslední sloupec rozšířené matice soustavy je vlastně vektor pravé strany. (To ostatně platí obecně, jen délka řádků soustavy odpovídá počtu neznámých a nemusí být stejná jako jejcich počet, což je počet rovnic. ALe v odpověti na vaši otázku, respektive její upřesnění, se omezím na tři rovnice o třech neznámých.)

Tato soustava je lineárně nezávislá, jestliže , zhruba řečeno, všechny rovnice jsou podstatné, žádnou nemůžeme vynechat. A pokud některou z těech rovnic vynachat můžeme, aniž by to melo vliv na řešení, jsou ty rovnice závislé, a pak samozřejmě máme méně rovnic než neznámých.

No jo, ale proč jsou nezávislé, tedy jsou-li takové? V zásadě jsou dva možné důvody. Buď jsou nezávislé už ty vektory levých stran, tedy, jinak řečeno, nezávislý je systém homogenní, takový, že na pravé straně jsou samé nuly. Potom obecná věta zaručuje, že příslušný systém má jediné řešení, ať už máme na mtysli homogenní systém (vpravo nuly; pok to jediné řešení budou samé nuly) nebo jakýkoli obecný systém (vpravo jakákoli reálná čísla); a platí to i naopak. No a jak se to pozná? Vlastně podle toho, čím jste začel, tedy že vám vyjdou zcela jednoznačně tři čísla. V tom je zároveň návod, jak tu nezávislost zjistit předem, než rovnice vyřešíme. Jak bychom je řešili? Nejspíš Gaussovou metodou, tedy tak, že od druhé a třetí rovnice odčítáme násobky první tak, abychom u x (míněno u prví neznámé) dostali koeficient nula. Pak se o totéž pokusíme beze změnýy první rovnice s rovnisí třetí, odečteme násobek druhé. No a když touto metodou (doplněnou eventuálně přeházením pořadí rovnic) upravíme systém tak, že v té matici soustavy dostaneme pod diagonálu samé nuly, ale na diagonále nuly nebudou, je vidět, že žádnou rovnici škrtnout nemůžeme, ale když tyto úpravy provedeme i s pravými stranami, že systém má právě jedno řešení.

Když ovšem homogenní soustava nebude nezávislá, aspoň jednu homogenní rovnici lze škrtnout, pak záleží na pravých stranách. Jak? Zvažte to, základní věta praví, že soustava má řešení tehdy a jen tehdy, je-li hodnost matice souastavy rovna hodnosti matice rozšířené. Co to může znamenat?

doplněno 06.10.13 18:05:

Obecně vzato, nezávislost/závislost vektorů určujeme nejjednodušeji právě takto, tedy napíšeme je do řádků pod sebou a nasadíme postup jako v Gaussově metodě. Když se nám nepodaří žádný vektor vyřadit, jsou nezávislé (a hodnost matice jimi vytvořené, je maximální, t.j. rovna počtu vektorů. Když nějaký vypadne, (tím, že jsme ho proměnili v nulový vektor, který následně můůžeme vyhodit) jsou závislé (a hodnost je rovna počtu těch vektorů, které zbyly).

doplněno 06.10.13 18:54:

že vám vyšla tři čísla---

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.