Potřebuji matematického génia - 3 příklady

Jak konkrétně jsi přišel právě na tuto úpravu, nevím (jedna možnost je osvícení, druhá taková, že spáruju členy, které jsou stejně daleko od konce a tam vždy vytknu x+1 _ tento postup je vhodný speciálně pro rovnice tohoto typu ("reciproké"); taky jde kořen x = _1 "uhádnout" metodou pokusů a omylů.

Další úprava rovnice

2x⁴ -3x³ -x² -3x + 2

je pak možná (jak někde píšu níže) substitucí

x + 1/x = u, tudíž

x² +2 +1/x² = u²; tedy x² + 1/x² = u² -2

x³ +3x² * 1/x +3x * 1/x² +1/x³ = u ³ ; po úprave x³ + 1/x³ = u³ _ 3 atd. To je obecná metoda použitelná pro reciproké rovnice prvního druhu sudého stupně, ale asi to není to, co by chtěla tazatelka.

Jen doplňuji, že před provedením té substituce je třeba rovnici vydělit x² . Tím tam dostanu ty výrazy x + 1/x , x² + 1/x² atd.

Tak ten uvedený postup (je to ten druhý z těch, o nichž jsem psal) využívá symetrie (reciprokosti) uvedené rovnice a podobná úvaha by mohla pomoci i k nalezení substituce. Ona je to teoretická substituce užívaná pro reciproké rovnice; pěkně o tom píše třeba wikipedie (http://cs.wikipedia.org/wiki/Reciprok%C3%A1_rovnice). Já na ni sám nepřišel a ani nedovedu říci, jestli bych ji dokázal vymyslet, kdybych ji neznal. Ale když si tak přemýšlím o různých možnostech, napadá mi, že pokus zdůraznit symetrii té bikvadratické rovnice tak, že ji vydělím x², by člověka napadnout mohl a odtud je k substituci už jen krok.

Jinak už mi zase blbnou odkazy, tak na tu wikipedii dám zkrácený odkaz : http://zkraceno.cz/7669, a pro jistou klíčová slova do vyhledávače:reciproké rovnice wikipedie

.

wikipedie

Já si nemůžu pomoci, ale požadavek, že mám kořen uhádnout, bych chápal tak, že si mohu hádáním vypomoci, a ne tak, že nic jiného dělat nesmím.

Jinak se nabízí (zejména u té první rovnice) hledat pro začátek kořeny celočíselné. Pokud rovnice s celočíselnými koeficienty takový kořen má, musí být dělitelem absolutního členu, (proč, to je doufám jasné?), čili začnu tím, že vyzkouším x = 1, x = -1, x = 2,x = -2 a hle, x = -1 a x = 2 jsou kořeny. (Kdybýych takhle žádný kořen nenašel, měl bych smůlu.)

Následně vytknu příslušné kořenové činitele a úloha se mi převede na rovnici třetího stupně; konkrétně to bude

2x^3 +x^2+x-1 = 0

(aspoň doufám, raději si to přepočítejte). Pak bych zkusil ještě kořen tvaru x = 1/y, a když tu rovnici vynásobím y^3, zjistím, že y musí být dělitelem dvojky, tedy y = -2 (to nevyhovuje), nebo y = 2 čili x = 1/2, což je další kořen. Tím mám tři kořeny a zredukují to na kvadratickou rovnici, kde už opravdu nevídím jinou cestu, než použít vzorec (případně doplnit na čtverec, což je ale vlastně jen odvození vzorce).

Jinak ta první rovnice je reciproká rovnice prvního druhu (tj., názorně řečeno, když koeficienty čteme zprava doleva, dostaneme totéž jako při čtení zleva doprava) lichého stupně. Jako taková má kořen x = -1 (což ostatně jsme již zjistili) a tak ji můžeme vydělit kořenovým činitelem (x+1). Vznikne reciproká rovnice prvního druhu čtvrtého stupně, kterou vydělíme x² (to si můžeme dovolit, protože nula není kořenem) a na vzniklou rovnici použijeme substituci

x +1/x = y.

Po jednoduchých úpravách vyjde kvadratická rovnice pro y. Když její kořeny (dva) dosadíme do té substituce, dostaneme dvě kvadratické rovníce pro x, celkem tedy můžeme očekávat čtyři kořeny, plus tu -1, kterou jsme začali. Jak prosté, milý Watsone .

Více o repciprokých rovnicích třeba na wikipedii

http://cs.wikipedia.org/wiki/Reciprok%C3%A1_rovnice

No ono je to těřké, napsat to vypočítané, a popravdě nevím, jestli je to ta pravá cesta k pochopení. Ty příklady nejsou na dva řádky a asi to budeš muset zkusit sama, ale chápu, že ten celkový výpočet podle návodů zdše uvedených je dlouhý a je toho moc najednou, Ale zkusím poradit po částech, ale výpočet sem nedám.

Tak začnu tou první rovnicí, když už jsem o tom psal, a uvidíme. Ten druhý postup, přes reciproké rovnice, je dosti složitý a dával jsem ho sem spíš pro úplnost, ale konec konců doporučeno máte zkusit řešení uhádnout. A jak ho uhádnout? Někdy ho skutečně řešitel "vidí", jak píší někteří o těch dalších rovnicích, no ale to chce určitou zkušenost, praxi, představivost. Ale opravdu, co ti brání zkusit tam dosadit x = 1 nebo x = 2. Tak začni tím. No a zjisti, zda některé z těchto dvou čísel je kořenem, když nebude (nebi i když bude), zkus ještě x = -1, nebo x = -2. Pokud tohle nezvládneš, nezvládneš nic, tak tím začni a napiš, k čemu jsi došla, a pak půjdeme dál.

(Já jsem psal něco o té dělitelnosti, ale to vlastně tak úplně nepotřebuješ, to má ten význam, že budeš vědět, že například nemá smysl zkoušet x = 3 a tak dále. Tak na to zatím zapomeň, třeba se k tomu vrátíme později.)

Ještě napiš, co víš o rozkladu na kořenové činitele, jestli víš, co to je a jestli umíš/neumíš kořenový činitel vytknout. Podle toho pak budeme postupovat dál-

Počkej, ty chceš říci, ýe neumíš vypočítat polynom , tedy dosadit do něj, kupříkladu, x ´-1 a přesvědčit se tak, zda to je či nění kořen?

To snad nemuslíš vážně.

No, já jsem , přiznám se, použil trik a roznásobil jsem (částečně) to řešení, které tazatelka uvedla, ale kdybyc ho neznal, taky bych to dělil.

Druhá možnost je od rovnice

2x^5 _ x^4 _ 4x^3 _ 4x^2 _ x _ 2 odečíst rovnici

2x^5 _ x^4 _ 4x^3 _ 4x^2 _ x _ 2

kde x je kořen (tedy například x = -1, nebo x = 2

a členy stejného stuúně upravit podle vzorečků, například

4x^3 _ 4x^3 = 4(x _ x)(x² +xx +x²) a to provést pro oba (všechny) kořeny, ale jaksi se mi nezdá, že z praktického hlediska je tento postup lepší. Jeho význam je spíš teoretický, ukazuje, že kořenový činitel jde vždy vytknout. Samozřejmě vždy existuje možnost, že na výsledek přijdu nějakým geniálním osvícením, ale na to návod neznám.

Překlep, absolutní člen samozřejmě není -2, ale +2. A taky mluvím o rovnici, ale píšu mnohočlen. Takže raději znovu:

Druhá možnost je od rovnice

2x^5 _ x^4 _ 4x^3 _ 4x^2 _ x + 2 = 0 odečíst rovnost

2x^5 _ x^4 _ 4x^3 _ 4x^2 _ x + 2 = 0

kde x je kořen (tedy například x = _1, nebo x = 2

a členy stejného stúně upravit podle vzorečků, například

4x^3 _ 4x^3 = 4(x _ x)(x² +xx +x²) a to provést pro oba (všechny) kořeny