Potřebuji matematického génia - 3 příklady

Od: Datum: 24.08.13 22:20 odpovědí: 20 změna: 27.08.13 10:10

Dobrý večer všem, našel by se tu prosím nějaký znalec matiky a látky, u které nemáme nadpis, jen tyhle 3 příklady, které jsme měli udělat ještě v červnu, ale nikdo to neudělal, a přišel nám e-mail, že to máme mít v září vypočítané, že bude opakovací písemka. Ano, škola bohužel začíná, začíná peklo. Byla bych vám více než vděčná za pomoc, netuším, jak na to, máme uhádnout jeden kořen, zbytek dopočítat. Výsledky bych mohla sehnat. Prosím!



Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 24.08.13 22:29
avatar

Nejsem si jistá tím prvním, ale druhý a třetí bych řešila substitucí, dosadila bych u=x na druhou. Takže u^2 - 4u + 3=0, klasicky vyřešit a kořeny pak dosadit ještě do substituce. Třetí stejně. :)

doplněno 24.08.13 22:39:

Nooo, tak z hlavy nevím, pardon. Leda si tu substituci představit v hlavě a použít Viettovy vzorce. :(

Ohodnoceno: 0x
 
Od: papaja*
Datum: 24.08.13 22:32

My ovšem musíme uhádnout kořen, substitucí to dělat nemáme :(

Od: hm®
Datum: 24.08.13 23:53
avatar

Co to je za debilní požadavek, kořeny povinně jen odhadovat?!

U 2) a 3) na mě fakt čistě náhodou vykouknul kořen 1: 1 - 4 + 3 = 0 a 3 + 3 - 6 = 0. Vlastně x^2 je 1, takže máme hned kořeny 2: x=+1 a x=-1. Víc ale neodhadnu, použil bych už zmíněnou substituci.

U 1) by bylo výhodné, aby se členy se sudými a lichými mocninami navzájem "požraly". To lze tak, že liché budou záporné a sudé kladné, takže x=-1. Pak 2*(-1) - 1 - 4*(-1) - 4 -(-1) + 2 se opravdu = 0. Ale další nevím.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 24.08.13 23:59

Jen se podivam na druhou rovnici a uz vidim, ze koreny jsou 1 a 3. Pak se to da napsat jako: (x2 - 1) (x2 - 3) = 0

To same s treti rovnici: podelit trema a pak: x4 + x2 - 2 = 0 a hned vidim, ze koreny jsou 1 a -2 a lze to tedy prepsat ve tvaru: (x2 - 1) (x2 + 2) = 0

Jak se na ty koreny prijde? Jestli kvadraticka rovnice ma tvar: x2 + bx + c = 0 a jeji koreny jsou "p" a "q", pak pro ne plati: "pq = c" a "p+q = -b".

V prvnim pripade tedy: b=-4; c=3; p=1; q=3; pq=3=c a p+q=1+3=4=-b

Stejne lze spocitat pro ten posledni priklad.

V zadani se nerika nic o tom, ze je zakazana substituce nebo ze se koreny nemohou pocitat. Neumim si prestavit, ze by bez techto dvou pomucek mohl bezny zak ty priklady spocitat.

Co se tyka prvniho prikladu, u toho se musim trosku zamyslet (zrejme o vhodne substituci).

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 25.08.13 00:16

Vysledek druheho prikladu lze samozrejme jeste dale rozepsat na korenove cinitele tech vyrazu v zavorkach: (x + 1) (x - 1) (x + odm(3) ) (x - odm(3) ) = 0; kde odm(3) je odmocnina ze 3.

Stejne tak ten treti priklad: (x + 1) (x - 1) (x2 + 2) = 0; protoze (x2 + 2) nema zadne koreny v oboru realnych cisel (vyjde, ze x je ±odm(-2) )

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 25.08.13 00:59

Zatim nejlepsi uprava te prvni rovnice, na kterou jsem prisel je tato: (x + 1) (2x4 -3x3 -x2 -3x + 2) = 0

Z toho je videt ten koren x = -1, jak uz odhadl @hm vyse.

Myslim, ze s lepsi upravou budeme muset pockat az na Kartagince, az se rano probudi, nebo doufat v me osviceni :D

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 26.08.13 12:00
avatar

Jak konkrétně jsi přišel právě na tuto úpravu, nevím (jedna možnost je osvícení, druhá taková, že spáruju členy, které jsou stejně daleko od konce a tam vždy vytknu x+1 _ tento postup je vhodný speciálně pro rovnice tohoto typu ("reciproké"); taky jde kořen x = _1 "uhádnout" metodou pokusů a omylů.

Další úprava rovnice

2x4 -3x3 -x2 -3x + 2

je pak možná (jak někde píšu níže) substitucí

x + 1/x = u, tudíž

x² +2 +1/x² = u²; tedy x² + 1/x² = u² -2

x³ +3x² * 1/x +3x * 1/x² +1/x³ = u ³ ; po úprave x³ + 1/x³ = u³ _ 3 atd. To je obecná metoda použitelná pro reciproké rovnice prvního druhu sudého stupně, ale asi to není to, co by chtěla tazatelka.

doplněno 26.08.13 12:59:

Jen doplňuji, že před provedením té substituce je třeba rovnici vydělit x² . Tím tam dostanu ty výrazy x + 1/x , x² + 1/x² atd.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 27.08.13 04:37
Jak konkrétně jsi přišel právě na tuto úpravu, nevím
Puvodni rovnici jsem upravil na tvar:
2(x5 + 1) -x(x3 + 1) -4x(x + 1) = 0
Z toho je videt (pokud clovek zna prislusne vzorce), ze kazda zavorka obsahuje (x+1), takze jsem dlouhym delenim zjistil (x5 + 1) : (x + 1) a pak i (x3 + 1) : (x + 1)
(x + 1) jsem tedy vytkl ze vsech clenu a po uprave vyjde to, co jsem psal v predchozim prispevku.
je pak možná (jak někde píšu níže) substitucí
Na tu vhodnou substituce se asi jen tak neprijde na miste, ze? Ja na to neprisel :( To se musi vycist nekde z tabulek, ne? (Postupy reseni reciprocnich polynomialnich rovnic).
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.08.13 09:53
avatar

Tak ten uvedený postup (je to ten druhý z těch, o nichž jsem psal) využívá symetrie (reciprokosti) uvedené rovnice a podobná úvaha by mohla pomoci i k nalezení substituce. Ona je to teoretická substituce užívaná pro reciproké rovnice; pěkně o tom píše třeba wikipedie (http://cs.wikipedia.org/wiki/Reciprok%C3%A1_rovnice). Já na ni sám nepřišel a ani nedovedu říci, jestli bych ji dokázal vymyslet, kdybych ji neznal. Ale když si tak přemýšlím o různých možnostech, napadá mi, že pokus zdůraznit symetrii té bikvadratické rovnice tak, že ji vydělím x², by člověka napadnout mohl a odtud je k substituci už jen krok.

Jinak už mi zase blbnou odkazy, tak na tu wikipedii dám zkrácený odkaz : http://zkraceno.cz/7669, a pro jistou klíčová slova do vyhledávače:reciproké rovnice wikipedie

.

doplněno 27.08.13 09:54:

wikipedie

Ohodnoceno: 0x
 
Od: papaja*
Datum: 25.08.13 09:34

Sehnala jsem správné výsledky.

Od: luke237
Datum: 25.08.13 10:02
Dobra zprava je ta, ze ten druhy a treti priklad jsem mel (skoro) dobre. Jak se ale prijde na ten prvni, na to jsem jeste neprisel :(
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 25.08.13 12:38
avatar

Já si nemůžu pomoci, ale požadavek, že mám kořen uhádnout, bych chápal tak, že si mohu hádáním vypomoci, a ne tak, že nic jiného dělat nesmím.

Jinak se nabízí (zejména u té první rovnice) hledat pro začátek kořeny celočíselné. Pokud rovnice s celočíselnými koeficienty takový kořen má, musí být dělitelem absolutního členu, (proč, to je doufám jasné?), čili začnu tím, že vyzkouším x = 1, x = -1, x = 2,x = -2 a hle, x = -1 a x = 2 jsou kořeny. (Kdybýych takhle žádný kořen nenašel, měl bych smůlu.)

Následně vytknu příslušné kořenové činitele a úloha se mi převede na rovnici třetího stupně; konkrétně to bude

2x^3 +x^2+x-1 = 0

(aspoň doufám, raději si to přepočítejte). Pak bych zkusil ještě kořen tvaru x = 1/y, a když tu rovnici vynásobím y^3, zjistím, že y musí být dělitelem dvojky, tedy y = -2 (to nevyhovuje), nebo y = 2 čili x = 1/2, což je další kořen. Tím mám tři kořeny a zredukují to na kvadratickou rovnici, kde už opravdu nevídím jinou cestu, než použít vzorec (případně doplnit na čtverec, což je ale vlastně jen odvození vzorce).

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 25.08.13 13:29
avatar

Jinak ta první rovnice je reciproká rovnice prvního druhu (tj., názorně řečeno, když koeficienty čteme zprava doleva, dostaneme totéž jako při čtení zleva doprava) lichého stupně. Jako taková má kořen x = -1 (což ostatně jsme již zjistili) a tak ji můžeme vydělit kořenovým činitelem (x+1). Vznikne reciproká rovnice prvního druhu čtvrtého stupně, kterou vydělíme x2 (to si můžeme dovolit, protože nula není kořenem) a na vzniklou rovnici použijeme substituci

x +1/x = y.

Po jednoduchých úpravách vyjde kvadratická rovnice pro y. Když její kořeny (dva) dosadíme do té substituce, dostaneme dvě kvadratické rovníce pro x, celkem tedy můžeme očekávat čtyři kořeny, plus tu -1, kterou jsme začali. Jak prosté, milý Watsone .

Více o repciprokých rovnicích třeba na wikipedii

http://cs.wikipedia.org/wiki/Reciprok%C3%A1_rovnice

Ohodnoceno: 0x
 
Od: papaja*
Datum: 25.08.13 14:44

Vůbec nerozumím tomu, co po mně chcete všichni... :) Já to takhle nepochopím, potřebuji to vidět vypočítané, sama si projít postupy. Nevadí. :) Ale děkuju všem za snahu, nečekala jsem tolik odpovědí. :)

Datum: 25.08.13 16:48
avatar

No ono je to těřké, napsat to vypočítané, a popravdě nevím, jestli je to ta pravá cesta k pochopení. Ty příklady nejsou na dva řádky a asi to budeš muset zkusit sama, ale chápu, že ten celkový výpočet podle návodů zdše uvedených je dlouhý a je toho moc najednou, Ale zkusím poradit po částech, ale výpočet sem nedám.

Tak začnu tou první rovnicí, když už jsem o tom psal, a uvidíme. Ten druhý postup, přes reciproké rovnice, je dosti složitý a dával jsem ho sem spíš pro úplnost, ale konec konců doporučeno máte zkusit řešení uhádnout. A jak ho uhádnout? Někdy ho skutečně řešitel "vidí", jak píší někteří o těch dalších rovnicích, no ale to chce určitou zkušenost, praxi, představivost. Ale opravdu, co ti brání zkusit tam dosadit x = 1 nebo x = 2. Tak začni tím. No a zjisti, zda některé z těchto dvou čísel je kořenem, když nebude (nebi i když bude), zkus ještě x = -1, nebo x = -2. Pokud tohle nezvládneš, nezvládneš nic, tak tím začni a napiš, k čemu jsi došla, a pak půjdeme dál.

(Já jsem psal něco o té dělitelnosti, ale to vlastně tak úplně nepotřebuješ, to má ten význam, že budeš vědět, že například nemá smysl zkoušet x = 3 a tak dále. Tak na to zatím zapomeň, třeba se k tomu vrátíme později.)

doplněno 25.08.13 17:21:

Ještě napiš, co víš o rozkladu na kořenové činitele, jestli víš, co to je a jestli umíš/neumíš kořenový činitel vytknout. Podle toho pak budeme postupovat dál-

Ohodnoceno: 2x
 
Od: papaja*
Datum: 26.08.13 15:59

Vím sice, co je to rozklad na kořenové činitele, ale stejně tohle mi rpostě nejde. :D Já na to asi kašlu, to je k zbláznení. Učitel se asi zbláznil.

 

Datum: 26.08.13 16:16
avatar

Počkej, ty chceš říci, ýe neumíš vypočítat polynom , tedy dosadit do něj, kupříkladu, x ´-1 a přesvědčit se tak, zda to je či nění kořen?

To snad nemuslíš vážně.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 26.08.13 03:07
Následně vytknu příslušné kořenové činitele a úloha se mi převede na rovnici třetího stupně
Jak se prijde na tu kubickou rovnici (krome dlouheho deleni [polynomu], ktere jsem pouzil ja)?
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 26.08.13 11:47
avatar

No, já jsem , přiznám se, použil trik a roznásobil jsem (částečně) to řešení, které tazatelka uvedla, ale kdybyc ho neznal, taky bych to dělil.

Druhá možnost je od rovnice

2x^5 _ x^4 _ 4x^3 _ 4x^2 _ x _ 2 odečíst rovnici

2x^5 _ x^4 _ 4x^3 _ 4x^2 _ x _ 2

kde x je kořen (tedy například x = -1, nebo x = 2

a členy stejného stuúně upravit podle vzorečků, například

4x^3 _ 4x^3 = 4(x _ x)(x² +xx +x²) a to provést pro oba (všechny) kořeny, ale jaksi se mi nezdá, že z praktického hlediska je tento postup lepší. Jeho význam je spíš teoretický, ukazuje, že kořenový činitel jde vždy vytknout. Samozřejmě vždy existuje možnost, že na výsledek přijdu nějakým geniálním osvícením, ale na to návod neznám.

doplněno 26.08.13 12:32:

Překlep, absolutní člen samozřejmě není -2, ale +2. A taky mluvím o rovnici, ale píšu mnohočlen. Takže raději znovu:

Druhá možnost je od rovnice

2x^5 _ x^4 _ 4x^3 _ 4x^2 _ x + 2 = 0 odečíst rovnost

2x^5 _ x^4 _ 4x^3 _ 4x^2 _ x + 2 = 0

kde x je kořen (tedy například x = _1, nebo x = 2

a členy stejného stúně upravit podle vzorečků, například

4x^3 _ 4x^3 = 4(x _ x)(x² +xx +x²) a to provést pro oba (všechny) kořeny

Ohodnoceno: 1x
 
Od: luke237
Datum: 27.08.13 10:10
Priklady z jakeho rocniku to jsou? My se ucili komplexni cisla az snad ve ctvrtaku (poslednim rocniku) na stredni skole *ee* Navic mi nepripada na zaklade zde predlozenych reseni, ze ten prvni priklad by dokazal bezny stredoskolak spocitat. *nevi*
Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.