Výpočet diferenciální rovnice + graf

Od: Datum: 18.04.13 14:49 odpovědí: 16 změna: 20.04.13 11:51

Dobrý den,

prosím o pomoc Výpočet diferenciální rovnice y"-2y=sin3x

1) 2 partikulární řešení pro počáteční podmínky y(0)=1, y(0)=-1 a druhé je y(1)=0, y(1)=1

2) Nakreslete přibližné grafy těchto partikulárníh řešení

3) Nakreslete do grafu pro všechna x leží <-1,3>


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 18.04.13 15:11
avatar

1. Nejprve napíšu a vyřeším char. rovnici λ² _ 1 = 0.

2. Napíšu obecné řešení homodenní rocnice.

3. Spočtu partikulární řešení (metodou variace konstant, nebo hledáním řešení ve speciálním tvaru

Teď bych mohl spočítat dosazením počátečních podmínek ta partikulární řešení, ale počáteční podmínky jsou zadány špatně (patrně problém se zápisem derivace?)

Bod 3 je gramaticky špatně, takže nedává smysl, otázce nerozumím.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: xlazarka
Datum: 18.04.13 17:35

Omlouvám se, ta derivace se mi smazala.

y(0)=1, y(0)=-1

y(1)=0,y(1)=1

já maximálně spočítám to homogenní řešení:(, dál si nevím rady, nemohl byste to vypočítat, moc Vás prosím?

Datum: 18.04.13 19:30
avatar

Derivace se smazala zase, já vím, s tím jsou trochu potíže.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice je zde nejjednodušší hledat ve tvaru podobném pravé straně:

yp = c*sin3x + d cos 3x

dosadíme do rovnice a spočteme c, d.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: xlazar
Datum: 19.04.13 11:29

y(0)=1 , zderivované y (0) =-1

y(1)=0, zderivované y(1)=1

a co s těmito podmínkami? :(

Od: xlazarka
Datum: 18.04.13 16:46

3) nakreslete do grafy výsledky těchto partikulárních řešení, když x má ležet v intervalu od -1,3

Datum: 19.04.13 12:26
avatar

Podrobnější postup:

1. Homogenní rovnice má obecné řešení A*e^x + B*e^(-x) (λ = ±1 je řešení charakteristické rovnice).

2. Partikulární řešení rovnice nehomogenní hledáme ve tvaru

yp = c*sin3x + d*cos 3x

tudíž

ypyp’’ = -9c* sin 3x - 9d*cos 3x

dosadíme do nehomogenní rovnice, dostaneme

(-9c -2c) sin 3x + (-9d -2d) cos 3x = sin 3x

odkud porovnáním koeficientů u sinu a u cosinu dostaneme c = -1/11, d = 0

3. Obecné řešení nehomogenní rovnice je obecné řešení rovnice homogenní plus partikulární řešení rovnice neomogenní:

y(x) = A*e^x + B*e^(-x) - 1//11 sin 3x

4. toto obecné řešení zderivujeme, do y(x) a do y’(x) dosadíme za x nulu, respektive 1 a porovnáme s poč. podmínkami:

1a) y(0) = A + B =1, y’(0) = -1 což jsou dvě rovnice pro dvě neznámé A, B, které snadno vypočteme

1b) analogicky y(1) = Ae + B/e - 1//11 sin 3 =0, y’(1) = 1

Grafy holt musíte nakreslit, přibližně.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: xlazar
Datum: 19.04.13 14:33

Děkuju moc, teď na to koukám, proč mi nevyšlo ani homogenní řeše. ono se tam neoznačilo y"-2y‘ =sin3x a vy to počítáte bez zderivování 2 :(.. promiňte..

ale děkuji moc za snahu..

Od: xlazarka
Datum: 19.04.13 14:59

Prosím ještě poslední věc.. došla jsem k obecnému řešení c1+c2 e na 2x + c1-1/4xna druhou sin (3)-1/4(x sin(3))

jak se toto zderivuje a dosadí to těch podmínek y(0) = 1, y’(0) = -1 a

y(1) =- 1, y’(1) = 1

Datum: 19.04.13 17:18
avatar

Je to jako z udělání. Taky jsem tam udělal chyby a počítal jsem vlastně rovnici

y"-y=sin3x

ale snad by vám mohl pomoci alespoň postup. Pro vaší rovnici bude char. rovnice

λ² - 2λ = 0

s řešením λ1=0, λ2=2řešení homogenní rovnice je tedy c1 + c2e^(2x)

což uvádíte správně, ale to partikulární řešení

-1/4xna druhou sin (3)-1/4(x sin(3)),

mi nějak nesedí. Jednak není úplně jasně zapsané, ale to bych snad pochopil. Hlavně se mi nezdá, že je dobře (i když jsem to nepřepočítával, ale zdá se mi, že tam zbudou nějaká x bavíc; jak jste k tomu přišla? I toto řešení lze hledat v navrhovaném tvaru

yp = c*sin3x + d*cos 3x

jen tam nevypadnecosinus.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: xlazar
Datum: 19.04.13 18:06

yp= Asin3x+Bsin3x

z toho jsem vypočítala yp a yp"

po dosazení -9sin3x-9Bcos3x-2*(3Acos3x+3Bcos3x)

B=2/45 A=-1/9

y obecné = c1+c2*ena 2x - 1/9sin3x+2/45 sin3x

Ještě jsem to přepočítala..a takhle mi to vyšlo

Teď jsem ale bezradná a neumím dosadit do těch dvou partikulárních podmínek jak to jedno y je zderivované a druhe ne.

Datum: 19.04.13 19:26
avatar

Nepřepočítal jsem výsledek, ale rozhodně jsou v zápise chyby, počínaje tím, že v tom partikulárním řešení mosí být i sinus, i kosinus:

yp= Asin3x+Bcos 3x

a to B nevyjde rovno nule.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: xlazar
Datum: 19.04.13 20:27

Děkuji, to jsem si právě nebyla jistá, jestli tam bude sin i cos. Takže to je asi pravidlo, že tam vždy musí být podmínky oboje. Když jsem to přepočítala vyšlo mi yo=c1+c2*ena2x+2/39cos3x-1/13sin3x

a teď udělám co s těmi derivacemi, prosím o poslední, kam dosazuji co :(, nepomohl byste mi s tim i s dosazenim?

y(0)=1, y(0)=-1

y(0)=1, y(0)=1

 

Datum: 19.04.13 21:07
avatar

Musí se to zderivovat, ale to jste zvládala. Více až vyvenčím psa.

doplněno 19.04.13 23:13:

Nechce se mi přepočítávat poslední výsledek, ale vypadá uvěřitelně. A máte pravdu, je to pravidlo, obvykle se v učebnicích uvádí přehled typu: "když pravá strana vypadá tak a tak, hledáme řešení v takovémto tvaru" a tam to je, že tam musí být sinus i cosinus. Ale ono je to nakonec logické: i kdybyste ho tam nedala, on tam při derivování stejně vleze a musíte mít možnost ho zpacifikovat.

A ted k počátečním podmínkám: derivace výtrazu

y(x)=c1+c2*ena2x+2/39cos3x-1/13sin3x (doufám že je správný nekontroloval jsem to)

je

y’(x) = 2c2*e^(2x) - 6/39 sin 3x - 3/13 cos 3x

pro první počáteční podmínku dosadíme x = 0 do y(x) (bude y(0) = c1 + c2 + 2/39 ) a položíme rovno 1, následně dosadíme nulu do výrazu pro y’(x) a položíme rovno -1, čímž dostaneme dvě rovnice pro dvě neznámé c1, c2. Podobné je to s druhou počáteční podmínkou, tam za x dosazujeme 1.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: xlazar
Datum: 20.04.13 11:31

Páni, děkuju Vám mnohokrát za Váš čas, jste zlatej!

Poradil jste mi lípe než nějaký doktor přírodních věd z Brněnské univerzity, který vyučuje matematiku(ten mi jako podmínku poradil Asinx+Bsinx).

Vy jděte do školství učit, protože to umíte suprově vysvětlit a jste ochotný. Kdyby takových lidí bylo víc :), tak školství si stojí úplně jinde.

Vážně děkuju :).

Datum: 20.04.13 11:40
avatar

Jsem rád, že to pomohlo, ale nechce se mi věřit, že by pan RNDr vyučující tuto podmínku poradil "vědomě", to se musel přepsat. Už proto, že Asinx+Bsinx = (A+B)sinx, takže ty dvě konstanty jsou vlastně jedna (nemluvě o tom, že tam má být sin3x).

Ohodnoceno: 0x
 
Od: jirbar*
Datum: 20.04.13 11:51

Já myslím že "kartaginec" si bude i nadále bude spokojeně a pokud možno hodně moc dlouho užívat důchodu a né že by se ještě chtěl vracet na MATFIS či někam jinam.

Hlavně když na jeho nervovou soustavu negativně nepůsobí zdejší dotazy typu, kolik je dvojčlen na druhou.

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.