Body na kouli

Od: Datum: 13.03.13 23:26 odpovědí: 3 změna: 14.03.13 16:05

Dobrý den,

poraďte mi, prosím, nevím jak na to. Jaký úhel mezi sebou svírají 4 body, rovnoměrně rozmístěné na povrchu koule? Hledaný úhel je myšlen mezi úsečkami: bod 1na povrchu koule - střed koule a bod 2 na povrchu - střed koule. Děkuji. Topas (ansi@seznam.cz)


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 13.03.13 23:45
avatar

Začal bych tím, že bych rozmístil rovnoměrně tři body na kružnici. Pro názornost je spojit se středem.

Pak bych přidal bod čtvrtý, nahoru nad papír, který bude mít od středu stejnou vzdálenost, tedy bude ležet na povrchu koule. Papír se teď stane řezem koulí "po rovníku", čtvrtý bod bude na severním pólu. Takže budeme muset ty tři původní body "přiohnout" směrem na jih, aby byly spolu s tím čtvrtým bodem rozmístěny rovnoměrně. Tuhle pozici ale už nedokážeme jednoduše od oka určit, budeme ji muset nějak odvodit.

Body máme všechny spojeny se středem koule, teď je ještě spojíme napřímo, mezi sebou. Pokud bychom podle těchto spojnic vedli řezy, vzniklo by nám nějaké těleso, zřejmě pravidelný, rovnoramenný, rovnostěnný, tříboký jehlan. Body musejí být rovnoměrně -> jejich vzdálenosti jsou stejné. Tedy těleso, složené ze čtyř rovnostranných trojúhelníku, které při otočení na základnu i na jakoukoli stranu vypadá stejně (prostě 1d4 kostka :P).

Potřebujeme zjistit některé jeho rozměry, na postupu už vcelku nezáleží, třeba spočítáme výšku strany (střed strany základny a vrchol jehlanu) a pak už přímo ten hledaný úhel.

doplněno 14.03.13 00:38:

Ale tam se nemají zjistit úhly u vrcholů stran jehlanu, nýbrž úhly u středu koule: vrchol - střed koule - vrchol. To je triviální ve 2d, ve 3d už tak ne.

doplněno 14.03.13 18:30:

Kulová plocha, opsaná čtyrštěnu? :) Takový vzorec jsem v životě nepotkal.

Tahle by to bylo dosazení do první rovnice, z ní dosazení do druhé (tím by se pravděpodobně dostal přesně ten vzorec) a pak kalkulačka na sinus.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 14.03.13 00:00

Jestliže je zadáním myšlen vepsaný trojboký jehlan, pak je určení úhlů jednotlivých je stran (úseček) triviální, neboť se bude vždy jednat o rovnostranné trojúhelníky.

doplněno 14.03.13 02:20:

Aha, no jasně, nějak mi to hned nedocvaklo, za což se omlouvám.
Ale i tak to zas tak složité není. Propojením stran A-střed koule-B nám zase vznikne opět jen trojúhelník. Střed koule je současně i středem vepsaného čtyřstěnu, protože koule je současně i opsaná kulová plocha onoho čtyřstěnu. Pak nám stačí vzoreček pro výpočet poloměru opsané kulové plochy (r=(√6/4)×a), do něhož si dosadíme libovolnou délku jedné strany čtyřstěnu. Výsledek nám udává hledaný poloměr, který je současně i delkou odvěsen A-střed koule a B-střed koule. No a když už známe délky tří stran trojúhelníku, tak dopočítat úhly nemůže být takové téma.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: topas*
Datum: 14.03.13 16:05

Dobrý den,

pan dericcaster mně pomohl k výpočtu. Úhel vyšel 109,4716°. Děkuji. Topas

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.