Dobrý den, poradili byste mi prosím s jedním příkladem?
Funkce f je spojitá a diferencovatelná v R.
Jestliže f(1) = 2 a f(5) = −1, potom existuje x0 ∈ (1, 5) takové, že:
a) f′(x0) = −1 b) f′(x0) = −3/4 c) f′(x0) = −7/4 d)f′(x0) = 0 e) f′(x0) =1/4
Myslim si, že by to mohlo a), b), c), protože jestli je f(x) v daném intervalu klesající, tak derivace by měla mít v tomhle intervalu obor hodnot od 0 do -3...nebo se pletu?
doplněno 24.01.13 18:17:
slyšela jsem, že je tomu potřeba použít vzoreček, ale nic takového jsem neobjevila...
0x
Nikde se nerika, ze ta funkce je ryze klesajici v danem intervalu. Klidne muze byt i chvilku rostouci a mit inflexni bod.Jo, to bude asi pravda...jenom jestli to není myšleno tak, že, ve kterém případě to nastane stoprocentně, implikace...
100% nastane to, ze bude prvni derivace nekde zaporna, protoze nejak se ta funkce musi dostat dolu.
0x
Já bych řekl jen to b) -3/4.
doplněno 24.01.13 19:16:Ta věta, podle mne, říká, že když ... ty funkční hodnoty, tak platí něco. A z těch funkčních hodnot rozhodně nevyplývá, že by funkce musela mít třeba derivaci 0; může to být rovná čára z [1,2] do [5,-2] (tedy výchozí podmínka splněna), a přesto tam nikde derivace = 0 nebude. Podobně ty ostatní, kromě b).
doplněno 24.01.13 19:19:A kdyby ta funkce nejdřív klesala víc (víz záporná derivace), musela by se někde zas dostatečně zvednout (nebo klesat mnohem pomaleji, než -3/4) a někde v přechodu by tedy ta derivace -3/4 byla.
Podobně případ, že by nejdřív klesala málo (případně dokonce rostla), pak by musel klesat o to víc a někde mezi tím by zas byla ta derivace -3/4.
0x
To je příklad na Lagrangeovu větu o střední hodnotě, jejíž názorný smysl je ten, že někde uvnitř intervalu (1,5) má graf funkce tečnu, rovnoběžnou se spojnicí krajních bodů grafu (teď už si jistě přesné znění a v něm obsažený vzoreček najdete). Závěr: b) je správně.
Doplňující informace: případ e) nastat nemůže (funkce je klesající a nemůže mít nikde kladnou derivaci), ostatní případy nastat mohou, ale nemusejí.
doplněno 24.01.13 19:31: Ten výklad, který podal hm, není samozřejmě důkaz, ale je to pěkný názorný popis, jak to funguje. 
Opravdu ta funkce nemůže ani chvíli růst, aby měla někde kladnou derivaci? Taková konkávní vlnka?
Vlastně může, já to četl nepozorně. Ono v samotném dotazu je to zmíněno, ale jen v úvahách ("kdyby byla klesající) a já to vzal za součást zadání. Bez tohoto předpokladu jsou samozřejmě možné všechny případy.
Můžu mít prosím ještě dotaz? S tímhle příkladem si absolutně nevím rady...
Vyberte funkci f takovou, že f′(x) = 5x pro všechna x ∈ (0, 1).a) f(x)= integrál (od x do 1) -5t dt b)f(x)= integrál (od 5x do 1) t dt c) f(x)= integrál (od x do 1) -7t dt d) f(x)= integrál (od 0 do 5x) t/5 dt
Jak jsem na to prisel? Zjistit jsem, jak ma vypadat ta funkce f(x)=(5x^2)/2+c (c ... konstanta). Pak jsem si spocital vsechny ty urcite integraly a jenom a) a d) vyjde (5/2)x^2 (v pripade a) vyjde c=-(5/2), v pripade d) pak c=0).
Ty urcite ingraly jsou primitivni. Vzdycky vyjde t^2 vynasobne nejakym koeficientem a jen tam pak dosadis ruzne horni a dolni meze.
Jestli je to moje reseni ale dobre, to opravdu rict nedokazu. 
Nějak bych čekal, že řešení bude jen jedno; nicméně toto očekávání bylo zklamáno.
Uvedené řešení je podle mne v pořádku. Pravděpodobně to ale není očekávaný postup (nicméně dobrý je). Základní pravidlo, které asi má být ilustrováno, je to, že derivace integrálu podle horní meze je hodnota integrované funkce v bodě, daném tou mezí.Tedy, položím-li f(x) = ∫^(x)g(t) dt (tím znakem mocnění - stříškou- chci říci, že x je horní mez; dolní mez, je-li konstantí, další výsledek neovlivní, měla by vliv pouze na konkrétní hodnotu integrační konstanty - viz luke - a proto ji nepíši), tak pro derivaci platí
f’(x) = g(x).
Je-li sama horní mez také funkcí x jako v posledním případě zadání, kde f(x) = ∫^(5x)t/5 dt, tak se to zderivuje podle horní meze y a pak se, podle věty o derivaci složené funkce, zderivuje ta funkce y = 5x:
f’(x) = (5x/5)* (5x)’ = (5x/5)* (5) =5x
No a ty ostatní případy zvládneme tak, že u ntegrálu přehodíme meze, čímž se ta dolní mez dostane nahoru, a celý integrál znásobíme -1.
No, pravda, tenhle výklad je asi delší než to co psal luke, ale kduž tohle vým, pak samotný výpočet (vlastně je to "zkouška") je jednodušší.
doplněno 25.01.13 10:09:Hrozná chyba. Když tohle vím
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.