Derivace funkce

Od: Datum: 24.01.13 18:09 odpovědí: 19 změna: 25.01.13 10:04
avatar

Dobrý den, poradili byste mi prosím s jedním příkladem?

Funkce f je spojitá a diferencovatelná v R.

Jestliže f(1) = 2 a f(5) = −1, potom existuje x0 ∈ (1, 5) takové, že:

a) f′(x0) = −1 b) f′(x0) = −3/4 c) f′(x0) = −7/4 d)f′(x0) = 0 e) f′(x0) =1/4



Myslim si, že by to mohlo a), b), c), protože jestli je f(x) v daném intervalu klesající, tak derivace by měla mít v tomhle intervalu obor hodnot od 0 do -3...nebo se pletu?
doplněno 24.01.13 18:17:

slyšela jsem, že je tomu potřeba použít vzoreček, ale nic takového jsem neobjevila...


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Od: luke237
Datum: 24.01.13 18:29
Ja nevidim duvod, proc by nemohly nastat vsechny pripady a)-e). *nevi* Nikde se nerika, ze ta funkce je ryze klesajici v danem intervalu. Klidne muze byt i chvilku rostouci a mit inflexni bod.
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 24.01.13 18:35
avatar

Jo, to bude asi pravda...jenom jestli to není myšleno tak, že, ve kterém případě to nastane stoprocentně, implikace...

Od: luke237
Datum: 24.01.13 19:15
Nemas nahodou v zadani neco jako ze je ta funkce linearni? Pak by to byly ty -3/4.
100% nastane to, ze bude prvni derivace nekde zaporna, protoze nejak se ta funkce musi dostat dolu.
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 24.01.13 19:35
avatar

ne, lineární není...jak jste spočítal ty -3/4?

Od: luke237
Datum: 24.01.13 19:36
Pokled o 3 hodnoty na intervalu delky 4 (od1 do 5). Tedy derivace = delta y deleno delta x = -3 / 4 *smich*
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 24.01.13 19:39
avatar

Jo, díky na takhle primitivní věci mi už dneska nezbývá v hlavě místo :D

Od: hm®
Datum: 24.01.13 19:11
avatar

Já bych řekl jen to b) -3/4.

doplněno 24.01.13 19:16:

Ta věta, podle mne, říká, že když ... ty funkční hodnoty, tak platí něco. A z těch funkčních hodnot rozhodně nevyplývá, že by funkce musela mít třeba derivaci 0; může to být rovná čára z [1,2] do [5,-2] (tedy výchozí podmínka splněna), a přesto tam nikde derivace = 0 nebude. Podobně ty ostatní, kromě b).

doplněno 24.01.13 19:19:

A kdyby ta funkce nejdřív klesala víc (víz záporná derivace), musela by se někde zas dostatečně zvednout (nebo klesat mnohem pomaleji, než -3/4) a někde v přechodu by tedy ta derivace -3/4 byla.

Podobně případ, že by nejdřív klesala málo (případně dokonce rostla), pak by musel klesat o to víc a někde mezi tím by zas byla ta derivace -3/4.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 24.01.13 19:25
Ano, tohle dava smysl a bylo by to i v souladu s puvodni otazkou, o ktere jsem si myslel, ze nebyla plne zadana. Myslim, ze jsi kapnul na to, na co se autor otazky ptal. *palec* *uspech*
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 24.01.13 19:28
avatar

To je příklad na Lagrangeovu větu o střední hodnotě, jejíž názorný smysl je ten, že někde uvnitř intervalu (1,5) má graf funkce tečnu, rovnoběžnou se spojnicí krajních bodů grafu (teď už si jistě přesné znění a v něm obsažený vzoreček najdete). Závěr: b) je správně.

Doplňující informace: případ e) nastat nemůže (funkce je klesající a nemůže mít nikde kladnou derivaci), ostatní případy nastat mohou, ale nemusejí.

doplněno 24.01.13 19:31:

Ten výklad, který podal hm, není samozřejmě důkaz, ale je to pěkný názorný popis, jak to funguje. *palec*

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 24.01.13 19:37
avatar

Děkuju moc :)

Od: hm®
Datum: 24.01.13 19:39
avatar

Opravdu ta funkce nemůže ani chvíli růst, aby měla někde kladnou derivaci? Taková konkávní vlnka?

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 24.01.13 19:59
avatar

Vlastně může, já to četl nepozorně. Ono v samotném dotazu je to zmíněno, ale jen v úvahách ("kdyby byla klesající) a já to vzal za součást zadání. Bez tohoto předpokladu jsou samozřejmě možné všechny případy.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 24.01.13 19:39
Nikde se nepise, ze funkce je klesajici, takze derivace kladna byt muze :)
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 24.01.13 19:59
avatar

Ano, omlouvám se; viz výše.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: luke237
Datum: 24.01.13 20:04
Nic se nedeje. Jen nechci tazatelku jeste vice mast. Uz takhle se v tom ztraci.
Ohodnoceno: 0x
 

 

Datum: 24.01.13 22:59
avatar

Můžu mít prosím ještě dotaz? S tímhle příkladem si absolutně nevím rady...

Vyberte funkci f takovou, že f′(x) = 5x pro všechna x ∈ (0, 1).
a) f(x)= integrál (od x do 1) -5t dt b)f(x)= integrál (od 5x do 1) t dt c) f(x)= integrál (od x do 1) -7t dt d) f(x)= integrál (od 0 do 5x) t/5 dt
Od: luke237
Datum: 25.01.13 00:05
Moc tomu nerozumim, ale vyslo mi, ze je to bud a) nebo d) *sok*
Jak jsem na to prisel? Zjistit jsem, jak ma vypadat ta funkce f(x)=(5x^2)/2+c (c ... konstanta). Pak jsem si spocital vsechny ty urcite integraly a jenom a) a d) vyjde (5/2)x^2 (v pripade a) vyjde c=-(5/2), v pripade d) pak c=0).
Ty urcite ingraly jsou primitivni. Vzdycky vyjde t^2 vynasobne nejakym koeficientem a jen tam pak dosadis ruzne horni a dolni meze.

Jestli je to moje reseni ale dobre, to opravdu rict nedokazu. :(

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 25.01.13 09:39
avatar

Nějak bych čekal, že řešení bude jen jedno; nicméně toto očekávání bylo zklamáno.

Uvedené řešení je podle mne v pořádku. Pravděpodobně to ale není očekávaný postup (nicméně dobrý je). Základní pravidlo, které asi má být ilustrováno, je to, že derivace integrálu podle horní meze je hodnota integrované funkce v bodě, daném tou mezí.Tedy, položím-li f(x) = ∫^(x)g(t) dt (tím znakem mocnění - stříškou- chci říci, že x je horní mez; dolní mez, je-li konstantí, další výsledek neovlivní, měla by vliv pouze na konkrétní hodnotu integrační konstanty - viz luke - a proto ji nepíši), tak pro derivaci platí

f’(x) = g(x).

Je-li sama horní mez také funkcí x jako v posledním případě zadání, kde f(x) = ∫^(5x)t/5 dt, tak se to zderivuje podle horní meze y a pak se, podle věty o derivaci složené funkce, zderivuje ta funkce y = 5x:

f’(x) = (5x/5)* (5x)’ = (5x/5)* (5) =5x

No a ty ostatní případy zvládneme tak, že u ntegrálu přehodíme meze, čímž se ta dolní mez dostane nahoru, a celý integrál znásobíme -1.

No, pravda, tenhle výklad je asi delší než to co psal luke, ale kduž tohle vým, pak samotný výpočet (vlastně je to "zkouška") je jednodušší.

doplněno 25.01.13 10:09:

Hrozná chyba. Když tohle vím

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 25.01.13 10:04

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.