Stereometrie: Válec vepsaný do jehlanu

Od: Datum: 08.06.12 08:30 odpovědí: 6 změna: 11.06.12 09:06

Potřeboval bych poradit s řešením:
Mame pravidelný ctyrboky jehlan o výsce v a délce podstavy a.
Potrebujeme do nej ukrýt válec. Určete poloměr podstavy válce r (a jeho výsku)
tak, aby mohl být valec co nejvetsí.
Děkuji

avatar
Upozornění
Tato otázka je 4 roky bez odpovědi a proto byla uzavřena.
Máte-li podobnou otázku, a nenašli jste vhodnou odpověď, založte novou otázku.
Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Od: reeve*
Datum: 08.06.12 11:21
 

Princip řešení:
Sestavte funkci, která vyjadřuje závislost objemu vepsaného válce na průměru podstavy (že bude umístěna ve středu podstavy jehlanu, je jasné).
Pak tuto funkci zderivujte a najděte její lokální extrémy. Jeden z nich označuje maximum funkce, tedy hledané řešení.

Nápověda:
Celou situaci si můžete výrazně zjednodušit a řešit pouze v rovině (rovnoramenný trojúhelník a vepsaný obdélník).

Ohodnoceno: 3x
 
Datum: 08.06.12 11:28
 
avatar

Formulace není úplně přesná. Co je největší válec? Nejspíš aby objem byl co největší. ale jasně řečeno to není.

Jinak mi není jasné, jak je ten válec položen, pro zjednodušení předpokládejme, že má kruhovou základnu v základně jehlanu (není mi na první pohled jasné, žeto tak musí být a že větší objem nedostanu, kdž bude válec v jehlanu " na ležato" nebo dokonce "naštorc". Pokud tedy je válec v jehlanu na stojato, se středem ve středu jehlanu, pak výška bude maximální taková, aby se schovala do jehlanu,, čili tak, aby se dotkla stěny jehlanu. To spočteme tak, že si uděláme řez jehlanu rovinou, jdoucí vrcholem a rovnobežnou s hranou základny jehlanu. Na tom řezu bude jehlan vypadat jako rovnoramenný trojúhelník s výškou v a základnou a. Válec bude v řezu obdélník vepsaý do toho trojůhelníku, s neznámou základnou 2r a s výškou v1, kterou snadno spočteme třeba z podobnosti (vyjde doufám v1= v*(a-2r)/a, čili výška je úměrná výrazu a-2r). No a objem válce spočtu snadno (vzorec známe), přesný výpočet nechám na vás, ale bude to násobek výrazu r²(a-2r). Potřebujete tedy najít maximum tohoto výrazu. Jak na to, to záleží na tom, co umíte. Nabízí se třeba cesta přes derivaci tohoto výrazu podle r, pokud neumíte derivovat, lze použít větu o vztahu mezi aritmetickým a geometrickým průměrem (zde pro tři veličiny r, r , (a-2r); to r musíme brát dvakrát, protože je tam na druhou.) Znáte takovou větu? Pokud ano, je tento návod dostačující, nebo potřebujete víc?

doplněno 08.06.12 12:04:

Ten předpoklad o podtavě válce, to je vlastně předpoklad, že válec je v jehlanu na stojato; další už je pak jasné, jak píše i reeve. A ono se zdá, že ta slova "potřebujeme válec schovat..." tuto představu evokují.

Ohodnoceno: 3x
 
Od: papra
Datum: 11.06.12 08:31
 

Moc děkuji za brzkou odpověď. Bohužel jsem se na odpovědi dostal až dnes.

Co největší válec opravdu znamená největší objem.

Jestli jsem správně pochopil tak do V(objemu válce) V=pi*v1= v*(a-2r)/a.

r²*(bude výsledná rovnice, kterou by jsme derivovali?

Od: papra
Datum: 11.06.12 08:34
 

Moc děkuji za brzkou odpověď. Bohužel jsem se na odpovědi dostal až dnes.

Co největší válec opravdu znamená největší objem.

Jestli jsem správně pochopil tak do V(objemu válce) V=pi*r²*v1 dosadíme za v1 = v*(a-2r)/a.

takže V=pi*r²*( v*(a-2r)/a.) bude výsledná rovnice, kterou by jsme derivovali?

Datum: 11.06.12 08:50
 
avatar

Pochopil jste to dobře, jen ten výsledný výraz k derivování můžete ještě zjednodušit. Není koneckonců nutné ten objem spočítet přesně, stačí najít r tak, aby objem byl co největší, a protože pi, v,a jsou meulové) konstanty, stačí vám maximalizovat (a tedy derivovat) výraz

r²*(a-2r)

(derivace podle r).

doplněno 11.06.12 09:19:
Ještě doplním, že k úplné korektnosti takového výpočtu je třeba stanovit obor přípustých r a určit, zda (a které) řešení té rovnice "derivace se rovná nule" je skutečně maximum (na tomto oboru!) a ne minimum nebo případně inflexní bod; ale to jistě víte.
A když jsem se zmiňoval o možnosti řešit úlohu bez derivování: výraz r²*(a-2r) je vlastně třetí mocnina geometrického průměru tří (kladných) veličin r, r, a-2r, a podle známé (?) věty o vztahu mezi aritmetickým a geometrickým průměrem je geometrický průměr vždy menší nebo roven aritmetickému průměru (což je v našem případe, jak snadno spočteme, a/3), tedy konstanta, a rovnost nastává právě tehdy, jsou-li všechny tři průměrované veličiny sobě rovné. Pokud vás to zajímá, závěr jistě snadno uděláte sám.
Ohodnoceno: 3x
 
Od: papra
Datum: 11.06.12 09:06
 

Děkuji za odpověďi,moc jste mi pomohl.

 

 

 

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.