Sin,cos, pomoci tg?

Od: hloupyhonza* 08.05.13 20:22

Ahoj, mohl bych se zeptat, jak by se dal vypočitat sin(x), cos(x) když znam hodnotu tg(x)?

Dík

11 odpovědí na otázku

Řazeno dle hodnocení

kartaginec®

08.05.13 21:13

Na to jsou hotové vzorečky, plunou z Pythagorovy věty.

Jednoznačně to ale vypočítat neelze, nedá se určit znamonko. Jedině pokud předpokládáme, že úhel ležé v prvním kvadrantu (nebo pokud víme, ve kterém leží).

doplněno 08.05.13 21:17:

S tou Pythagorovou větou je to tak: v pravoúhlém trojúhelníku, který má jednu odvěsnu rovnu jedné, je druhá rovna tangentě úhlu k ní protilehlého. Spočítej přeponu a následně z defonice sinus a cosinus( mluvím zde samozřejmě o funkcích ostrého úhlu).

doplněno 08.05.13 23:26:

Asi máte pravdu, založil jsem si kalkulačku a nechce se mi to počítat zpaměti.

A jistě by to šlo z jednotkové kružnice, jen mi to takhle přišpo přímočařejší. Z jednotkové kružnice zjistíte, že součet druhých mocnin sinu a kosinu je jedna (goniometrická jednotka) a že tg = sin/cos. Když tu goniometrickou jednotku podělíte druhou mocninou cosínu, dostanete přímo vztah pro druhou mocninu kosínu a sinus (resp. jeho čtverec) už dopočtete. (A znamínko odmocmin určíte podle toho, ve kterém kvadrantu jste.)

hloupyhonza*

08.05.13 21:26

tg(x)= -5/12 a naleži do intervalu pi/2 až pi... takže chapuli to dobre, tak sin(x)= 0,385 a cos(x)=- 0,923?... nešlo by to nejak prez trojuhelniky v jednotkove kružnici?

hloupyhonza*

09.05.13 08:29

mohl bych poprosit, zda by bylo možné tuto idue více rozepsat? přijde mi velice zajímavá a i jako mnohem elegantnejši rešeni Děkuji

kartaginec®

09.05.13 14:02

Zkusme se tedy na to podívat. Pro úplnost budu opakovat i věci notoricky známě, tak to neberte úkorně. Na jednotkové kružnici zvolím bod T[x,y¨], střed označím O = O[0,0] a průsečík s osou x označím P = P[1,0]. Úhel odpovídající bodu T měříme délkou s oblouku kružnice od P do T, měřeným v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček); jeho velikost je tedy určena jednoznačně až na násobky 2π. Nyní, podle definice, sin s = x, cos t = y, tg s = x/y = sin s / cos s. (tg je tedy definována pro y ≠ 0, čili pro s = ½π + kπ, k celé). Z obrázku je patrno, že x,y (přesněji: |x| a |y|, úplně korektní by bylo důsledně rozlišovat geometrické úsečky a jejich délky) jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníka s přeponou OT délky 1, a tudíž x²+y²=1. V řeči goniometrických funkcí dostáváme dva vztahy: (1)...sin² s + cos² s = 1 (2)...tg s = sin s/cos s (pro nenulový kosínus) Dál už budu jen počítat. Rovnici (1) vydělím výrazem cos² s: sin² s/cos² s + 1 = 1/cos² s, čili tg² s +1 = 1/cos² scos² s = 1/(tg² s +1) a máme první vztah _ vyjádření cosínu pomocí tangenty. Následně vyjádříme sin² s = 1 _cos² s = 1 _ 1/(tg² s +1) a po úpravě sin² s = (tg² s) / (tg² s +1) znaménko po odmocnění záleží na tom ve kterém jsme kvadrantu.doplněno 09.05.13 14:04: Jinak Figurek má samozřejmě pravdu, vzorečky, které uvádí, platí, ale zřejmě nepochopil, neč se ptáte, asi si otázku pořádně nepřečetl, takže mluví o něčem jiném.doplněno 09.05.13 18:05: Omlouvám se za ostudný přepis, přehodil jsem x a y. Tedy pokud osa x je ta vodorvoná, od které měříme úhel, pak sin s = y, cos s = x, tg s =y/x = sin s / cos s. (tg je tedy definována pro x ≠ 0, čili pro s = ½π + kπ, k celé)Jinak k poslednímu dotazu: není mi zcela jasné, k čemu že byste chtěl ty trojúhelníky použít. Jestli k odvození vzorečkůcos² s = 1/(tg² s +1)sin² s = (tg² s) / (tg² s +1)tak to nějak moc nevidím, jak (nechci říkat, že to nejde, možná, kdybych hodně přemýšlel, že bych nějakou komplikovanou cestu _ jí nebo někdo jiný _ našel. To spíš bych v nich viděl vztahy cos x = sin (½π = x).adnice bodu A poznámka na okraj - trochu matoucí na Vámi odkazovaných obrázcích mi přijde, že velikost úhlu se tam označuje x a zároveň se říká, že cos je x=ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici. To by evokovalo zápis, zjevně nesmyslný, cos x = x. Samozřejmě takový zápis tam nikde uveden není, protože se mu autor vyhnul slovy "x-ová souřadnice". Zřejmě prostě mluví o ose x jako o přímce, ale hodnoty souřednic na této ose nijak neoznačuje. Proto, abych se takovým problémům vyhnul, jsem úhel (tedy délku oblouku na jednotkové kružnici) značil jinak nestandardně s. (Druhá možnost byla, ponechat x jako označení úhlu, tedy argumentu goniometrických funkcí) a mluvit o osách s, t (například, nebo u,v)

hloupyhonza*

09.05.13 17:24

Děkuji, ale jestli bych ještě mohl, když jsem si udelal obrazek, tak jsem si nemohl nevšimnout že se v jednotkove kružnicy nachazeji 2 schodne trojuhelniky, obrazek treba viz zde, strana 9 ucebnice.krynicky.cz/...

mám ale problem tuto myšlenku nejak pevneji uchopit a propočitat, proto se tedy táži, bylo by možne použit znalost hodnoty tangens a myšlenky podobných trojuhelniku?

kartaginec®

09.05.13 18:07

Viz ddoplnění odpovědi výše.

hloupyhonza*

09.05.13 18:12

napadlo mne toto...oba trojuhelniky, tady trojuhelnik zeleny (sinus, kosinus a prepona je 1) a červeny ( přepona 12/5,druha přepona je 1 a odvesnu kterou zpočtu z pyt.vety,označme X)..mno a ted by mohlo platit... že (12/5) / sinus =1/kosinus = X/ 1...nahore mame hodnoty stran červeneho trojuhelniku, dole pak velikosti stran zeleneho trojuhelniku...sedi to?

kartaginec®

09.05.13 18:18

Tak to jsme si nerozuměli, já koukal na jiné trojúhelníky (tuhle dva totiž nejsuou shodné, ale jen podobné. Pak by ta úvaha mohla mít něco do sebe, zamyslím se. Teď jdu na čajdoplněno 09.05.13 19:33: Jo, sedí to. V podstatě je to varianta řešení, které jsem navrhoval v prvníodpovědi v prvním doplnění (doplněno 08.05.13 21:17

Skočit na otázku
Vložit novou otázku

hloupyhonza*

09.05.13 18:23

ano, omlouvám se, trojuhelniky jsou samozrejme pouze podobne

Skočit na otázku
Vložit novou otázku

[přidat komentář]

figurek*

09.05.13 12:48

neptáte se náhodou na ty nejzákladnější vzorečky? Se mi zdá, že Kartaginec vás zavádí trochu mimo.

tg(x)=sin(x)/cos(x)

no a když chcete vypočítat kosinus ze sinu, pak se kosinus počítá jako sinus doplňkového úhlu do 90, 180, 270, 360 atd.

Příklad : Když je úhel x menší než 90°, pak vzoreček vypadá takto.

tx(x)=sin(x)/sin(90-x)

Tangens z kosinu si už vybádejte sám. Je to taky strašně složité.

kartaginec®

09.05.13 17:06

Myslím, že se mýlíte.

[přidat komentář]

Přidat svou odpověď

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.

Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.