Sin,cos, pomoci tg?

Na to jsou hotové vzorečky, plunou z Pythagorovy věty.

Jednoznačně to ale vypočítat neelze, nedá se určit znamonko. Jedině pokud předpokládáme, že úhel ležé v prvním kvadrantu (nebo pokud víme, ve kterém leží).

S tou Pythagorovou větou je to tak: v pravoúhlém trojúhelníku, který má jednu odvěsnu rovnu jedné, je druhá rovna tangentě úhlu k ní protilehlého. Spočítej přeponu a následně z defonice sinus a cosinus( mluvím zde samozřejmě o funkcích ostrého úhlu).

Asi máte pravdu, založil jsem si kalkulačku a nechce se mi to počítat zpaměti.

A jistě by to šlo z jednotkové kružnice, jen mi to takhle přišpo přímočařejší. Z jednotkové kružnice zjistíte, že součet druhých mocnin sinu a kosinu je jedna (goniometrická jednotka) a že tg = sin/cos. Když tu goniometrickou jednotku podělíte druhou mocninou cosínu, dostanete přímo vztah pro druhou mocninu kosínu a sinus (resp. jeho čtverec) už dopočtete. (A znamínko odmocmin určíte podle toho, ve kterém kvadrantu jste.)

Zkusme se tedy na to podívat. Pro úplnost budu opakovat i věci notoricky známě, tak to neberte úkorně.

Na jednotkové kružnici zvolím bod T[x,y¨], střed označím O = O[0,0] a průsečík s osou x označím P = P[1,0]. Úhel odpovídající bodu T měříme délkou s oblouku kružnice od P do T, měřeným v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček); jeho velikost je tedy určena jednoznačně až na násobky 2π.

Nyní, podle definice, sin s = x, cos t = y, tg s = x/y = sin s / cos s. (tg je tedy definována pro y ≠ 0, čili pro s = ½π + kπ, k celé). Z obrázku je patrno, že x,y (přesněji: |x| a |y|, úplně korektní by bylo důsledně rozlišovat geometrické úsečky a jejich délky) jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníka s přeponou OT délky 1, a tudíž x²+y²=1. V řeči goniometrických funkcí dostáváme dva vztahy:

(1)...sin² s + cos² s = 1

(2)...tg s = sin s/cos s (pro nenulový kosínus)

Dál už budu jen počítat. Rovnici (1) vydělím výrazem cos² s:

sin² s/cos² s + 1 = 1/cos² s, čili tg² s +1 = 1/cos² s

cos² s = 1/(tg² s +1)

a máme první vztah _ vyjádření cosínu pomocí tangenty. Následně vyjádříme sin² s = 1 _cos² s = 1 _ 1/(tg² s +1) a po úpravě

sin² s = (tg² s) / (tg² s +1)

znaménko po odmocnění záleží na tom ve kterém jsme kvadrantu.

Jinak Figurek má samozřejmě pravdu, vzorečky, které uvádí, platí, ale zřejmě nepochopil, neč se ptáte, asi si otázku pořádně nepřečetl, takže mluví o něčem jiném.

Omlouvám se za ostudný přepis, přehodil jsem x a y. Tedy pokud osa x je ta vodorvoná, od které měříme úhel, pak

sin s = y, cos s = x, tg s =y/x = sin s / cos s.

(tg je tedy definována pro x ≠ 0, čili pro s = ½π + kπ, k celé)

Jinak k poslednímu dotazu: není mi zcela jasné, k čemu že byste chtěl ty trojúhelníky použít. Jestli k odvození vzorečků

cos² s = 1/(tg² s +1)

sin² s = (tg² s) / (tg² s +1)

tak to nějak moc nevidím, jak (nechci říkat, že to nejde, možná, kdybych hodně přemýšlel, že bych nějakou komplikovanou cestu _ jí nebo někdo jiný _ našel. To spíš bych v nich viděl vztahy cos x = sin (½π = x).adnice bodu A poznámka na okraj - trochu matoucí na Vámi odkazovaných obrázcích mi přijde, že velikost úhlu se tam označuje x a zároveň se říká, že cos je x=ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici. To by evokovalo zápis, zjevně nesmyslný, cos x = x. Samozřejmě takový zápis tam nikde uveden není, protože se mu autor vyhnul slovy "x-ová souřadnice". Zřejmě prostě mluví o ose x jako o přímce, ale hodnoty souřednic na této ose nijak neoznačuje. Proto, abych se takovým problémům vyhnul, jsem úhel (tedy délku oblouku na jednotkové kružnici) značil jinak nestandardně s. (Druhá možnost byla, ponechat x jako označení úhlu, tedy argumentu goniometrických funkcí) a mluvit o osách s, t (například, nebo u,v)

Viz ddoplnění odpovědi výše.

Tak to jsme si nerozuměli, já koukal na jiné trojúhelníky (tuhle dva totiž nejsuou shodné, ale jen podobné. Pak by ta úvaha mohla mít něco do sebe, zamyslím se. Teď jdu na čaj

Jo, sedí to. V podstatě je to varianta řešení, které jsem navrhoval v prvníodpovědi v prvním doplnění (doplněno 08.05.13 21:17

Myslím, že se mýlíte.