Zdravím všechny, kdo se nebojí matematiky,
chtěla bych se zeptat, zda byste mi někdo neporadil ohledně závislosti čtyř vektorů - jak poznám, že se jedná o závislé či nezávislé vektory - existuje na to nějaký logický postup, aniž by se to muselo řešit početně např. přes matice, lineární kombinací?
Například pokud mám vektory (1,2,-3) (2,4,-5) (3,-1,2) (3,3,0) Lze si nějak hned odvodit, jaký je mezi nimi vztah?
Velký dík všem
2x
Konkrétně v tomhle případě opravdu není třeba nic odvozovat, protože vektory jsou třísložkové a takové mohou být nezávislé maximálně tři, čtyři jsou automaticky závislé.
Obecně ale něco podniknout musíš, koneckonců (ne)závislost vektorů je právě pomocí lineárních kombinací definovaná. Maximálně v jiných konkrétních případech to může být jasné bez složitého počítání díky nějaké speciální vlstnosti, třeba je-li jeden násobkem druhého, jsou závislé, ať je jich kolik chce.Ale třeba v tvém příkladu, budeš-li se ptát na závislost prvních tří, nic jiného ti nezbyde. Můžeš zkoušet řešit rovnice, můžeš použít ekvivalentních úprav matice, můžeš (a to mi zde přijde nejrychlejší) počítat determinant těch tří vektorů, ale něco musíš.
Děkuji. Něco takového o tom, že třísložkové vektory jsou maximálně tři nezávislé jsem slyšela. Ale jak je to možné? Proč jsou čtyři automaticky závislé? Jaký je důkaz?
Aha. Tady bude ten zakopaný pes.Chyba tedy vznikla hned na začátku učiva. Nepochopila jsem, že každý vektor má svůj "samostatný směr".
Tohle sice není dúkaz, nýbrž jen jiná formulace téhož tvrzení, ale svou názorností je pro pochopení cennější než skutečný důkaz.
To plune z obecné teorie, ve které se dokazuje, že každá báze vektorového prostoru konečné dimenze (tedy množina nezávislých vektorů, které tento prostor generují) má stejný počet prvků, a ze zřejmého faktu, že tzv. kanonická baze (zde vektory (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ¨je skutečně báze.
1x
Ono to zas není až tak složité. Co na tom může mást, jsou vektory čtyř a vícerozměrné; za účelem pochopení se ne ně můžete vykašlat, namalovat se nedají, "reálný význam" (aspoň takový ten obecně přijatelný geometrický) nemají, tak se na ně dívejte jako na matematickou abstrakci, která je v mnoha ohledech užitečná (třeba se s jejich pomocí dobře popisují metody soustav lineárních rovnic a jejich řešení, prostě je to takový matematický těsnopis).
Pro vektory jednorozměrné, dvourozměrné či třírozměrné si můžete vybudovat názornou představu, která vám pomůže se v tom orientovat. Možná je užitečné si uvědomit, že pojem vektoru vznikl ve fyzice. popisuje veličinu, která má velikost a směr, úplně původní užití bylo pro sílu (latinské slovo vector znamená nosič). (Pokud si vzpomenete na takové pojmy jako vektor volný a vázaný, působiště vektoru - síly a tak, to jsou jistě důležité pojmy, ale řekněme až z vyšších pater poznání, zatím od nich oobstrouhejte.)
No a i fyzici si rádi malují a své úvahy si znázorňují, takže se nabízí symbolické znázornění fyzikálního vektoru (síly) pomocí úsečky se šipkou, jejíž směr udává směr působení té síly, a velikost ve vhodných jednotkách vyjadřuje velikost této síly. A hop, je tu lidoop, v našem případě geometrický vektor jako orientovaná úsečka (já si to představuji spíš jako mrak úsešek, stejného směru i orientace a stejné velikosti, ale maluji si vždycky jednu z nich, takovou, aby se mi to dobře vešlo na papír.) . Noa ty úsečky mohu malovat, nebo si mohu zavést nějaké souřadné osy, přiřadit těm úsečkám souřadnice a máme tu aridmetické vektory, trojice (pokud pracujeme v rovině, tak dvojice, na přímce dokonce "jednotice" čísel,). To všechno, ač jsou to jakoby různé věci, není nic jiného než různé kabáty pro jednu a tutéž věc. Zkuste si to takhle představit a třeba vám z toho něco vyjde, když tak později ty představy trochu rozvedu.
No a teď jak je to s tou závislostí. Nejprve v rovině. Tam vystačím při tvorbě souřadého systému se dvěma osami (dejme tomu x a y) a s počátkem souřadnic O. V té rovině mohu namalovat jeden nenulový vektor, který je sám o sobě nezávislý, a určuje přímku (tedy určuje směr přímky a ještě samozřejmě potřebuju znát nějaký bod té přímky; představujte si třeba, že jde počátkem O). Souřadnice toho vektoru budou (a,b), každý další vektror v té přímce je jeho násobkem a tedy má souřadnice (αa,αb). Nebo tam mohu namalovat dva vektory, ty budou mít souřadnice dejme tomu (a,b) a (c,d). Buď oba budou ležet v jedné přímce (jeden bude násobkem druhého, budou určovat jeden směr, vznešeně řečeno budou kolineární) a pak jsou samozřejmě závislé. Nebo ani jeden nebude násobkem druhého, lidově "každý míří jinam". Pak jsou nezávislé, a tvoří jakousi "kostru" na kterou lze tu rovinu natáhnout; každý další vektor už bude jejich kombinací, Představte si tam tedy ještě třetí vektor, nenulový, aby to mělo nějaký smysl, o souřadnicích (e,f). Ten určite můžete napsat jako kombinaci těch dvou. Jednak tu kombinaci můžete vypočítat (byla by to soustava dvou rovnic o dvou neznámých), ale pro názornost je lepší, zkonstruovat ji graficky. Ono je dokonce možné, že ten třetí vektor bude násobkem jednoho z prvních dvou, bude s ním kolineární, a pak je to jednoduché. A když ne. tak prostě namalujete trojůhelník, jehož strany budou rovnobežné s těmi třemi vektory, a pak ho zvětšíte/zmenšíte tak aby ta strana, co je násobkem vektoru (e.f), mu byla přímo rovna. A co jste to namalovala? To jae grafické zčítání vektorů, fyzici tomu říkají mnohoúhelník (zde trojúhelník) sil. Takže každé tři vektory, ležící v rovině (vznešeně "komplanární") už nutně musí být závislé, Na třetí nezávislý vektor tam prostě už není místo, musel by, jak upozornil dzordz, rčet z roviny do prostoru.No a taď si to představte v třírozměrném prostoru. Tam budou mít vektory tři souřadnice, (nebo, chcete-li, tři složky; to sice není úplně totéž, ale tím se nevzrušujte), k jejich zápisu potřebujede souřadný zystém o třecgh osách x,y,z a vztahy více vektorů mohou být různé:Jeden vektor, pokud je nenulový, je vždy nezávislý "an sich". Dva vektory mohou být kolineární (jeden je násobkem druhého), pak jsou závislé; jinak jsou nezávislé. Tři vektory mohou být kolineární a tedy závislé, nebo mohou být komplanární, aspoň jeden z nich bude kombinací ostatních, stále závislé, Nebo "každý míří v prostoru jinam", nejsou ani kolineární, ani komplanární, tvoři jakousi kostru, na kterou lze celý třírozměrný prostor natáhnout, a jsou nezávislé.No a čtyři vektory? Dobře, tři z nich mohou být nezávislé, ale čtvrtý už tam nemůžete přidat, aby měl "úplně nový směr" to by musel "trčet mimo prostor". Kam? No autor sci fi má jasno: Du hyperprostoru jako nosič rakety letící nadsvětelnou rychlostí. Matematik sice taky zná pojem čtyřrozměrného prostou, ale je to pro něj formální záležitost, klasicky nesestrojitelná a tedy nepředstavitelná, Prostě pro čtvrtý vektor s těmi prvními třemi nezávislý tam není místo.
Děkuji velmi moc. To pro Vás muselo být naprosto vyčerpávající takový rozbor. Jsem dlužníkem
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.