Goniometrické funkce - sin x

Zajímalo by mě, jak vůbec někdo přišel na to, že se sinus (a další) dá rozepsat do řady (a jak přišel na správné členy). Možná se mi to už někdo i snažil vysvětlit, ale abych to pochopil a UVĚŘIL, to teda nevím, co by se muselo stát.

To byla jen taková poznámka. Nečekám, že se někdo bude (zbytečně ) snažit tady.

No tak ono přijít na to, že zrovna sinus se dá rozepsat do řady, by byla taková ad hoc úvaha, jak správně píšete, ono se to týká toho "a další!. Jinak těžko říci, jak konkrétně na to páni matematici (jména s tím spojovaná jsou Taylor, MacLauren atd) přišli, jak se k tomu dopracovali, ale proč se tím vůbec zabývali, to je sazší: polynomy jsou něco, s čím se dá počítat, dají se vypočítat na papíře s pomocí elementárních operací (i když dnes je počítáme spíš na kalkulačce) a tak se hodí k přibližnému nahrazování ostatních funkcí. Možná tahle věc je i v pozadí ,atejova dotazu. Jiná věc je, jak zjistili ty správné členy. To je součást teorie Taylorových polynomů a také teorie mocninných řad, a v jejím ránci je to jednoznačně odvozeno a dokázáno, ovšem to tu rozvádět nebudu. Jen tak pro zajímavost uvedu, že takovým vnitřním odůvodněním Taylorových polynomů není ani tak přiblížení funkce s co nejmenší chybou v celém jejím definičním oboru (po téhle stopě lze jít i jinudy, ale rozvádět to zase nebudu), jako spíč co nejlepší popis chování zkoumané funkce v blízkosti doného bodu (u Taylora bodu nula), a to, že pro rozumné funkce z toho vyjde dobrý popis na větším intervalu, je svým způsobem šťastný průvodní efekt.

Tady zaměňujete funkci inverzní a převrácenou. V inverzní funkci vyměníte hodnoty x a y, navíc v případě sinu budete muset omezit rozsah hodnot na základní periodu, aby to byla i nadále funkce, ne relace. Obrázek na cs.wikipedia.org/... vám napoví.

Přsnš tak. A na tom odkaze je i rozvoj arcsinu do nekonečné řady, ta je bohužel složitější než je ta pro sinus. (Jen se nedejte zmást překlepem, tam je uvedeno, že řada je pro!z!<1, má být!x!<1

No co by to mělo znamenat, že jsou příbuzné? Já bych to tak asi nenazval, ale určité styčné body by se našly. Rozhodně bych ale netvrdil, že jsou si podobné, například je rozdíl v definičním oboru.- Sinus hyperbolický je definován na celém R a to je i jeho obor hodnot, na rozdíl od arcsinu, který zobrazuje omezený interal na omezený interval. Podobnost bych viděl v tom, že obě funkce jsou rostoucí a v nule mají inflexní bod. Takových funkcí je ale spoustu, to už mi přijde podobnější s funkcí x³, ale ta má zase v nule nulovou derivaci.

Jistou příbuznost lze vidět například v tom, že obě funkce jsou analytické, což znamená, že se dají zapsat pomocí Taylorovy řady, ovšem zase je tu ten podstatný rozdíl v definičním oboru.To spíš bych řekl, že sinus hyperbolický je příbuzný se sinem a vůbec s goniometrickými funkcemi.. To je ovšem nejlépe vidět v teorii komplexních funkcí komplexní proměnné (i když i reálném oboru lze najít řadu analogií), ale to je obor, do kterého bych se tu nerad pouštěl; snad jen tolik, že v komplexním oboru lze goniometrické i hyperbolické funkce vyjádřit pomocí funkce exponenciální a naopak zase. No a protože inverzní k exponenciále je logaritmus, tak ych spíš pokládal arkussinus za příuzný s logaritmem, tam se najdou i hlubší souvislosti, ovšem všechno to chce pracovat s komplexními funkcemi a aby se to nepletlo, komplexní funkce nemusí být nutně jednoznačné, (speciálně komplexní logaritmus není, ostatně komplexni arkussinus také ne), a tak bych to radši nechal koňovi.