Jak určím odmocninu bez kalkulačky

Od: odpovědí: 9 změna:

Chtěl bych se zeptat,jak určím odmocninu čísla 3025 bez pomoci kalkulačky?

9 odpovědí na otázku

 

 


2x

Pomocí tzv. částečného umocňování. Vysvětlím na příkladu:

Odmocnina z 500 = Odmocnina z (5*100)= odmocnina z (5*4*25), 25 a 4 lze odmocnit z hlavy, takže dostaneme = 2*5 odmocnin z 5. Takže výsledek je 10 domocnin z 5. :)

Stačí takto?

doplněno 28.03.11 19:06:

Tak 3025 je taky dělitelné 25, to vidíte na posledním dvojčíslí. Takže 3025/25=121, takže v prvním kroku to bude odmocnina z 25*121. 25 odmocníme, tím ji dostaneme zpod té odmocniny, 121 tam zůstane - a máme 5 odmocnin ze 121... Tak zkuste, jestli to jde ještě něčím vydělit. :)

doplněno 28.03.11 19:13:

Ano, vyjde to 55. Protože 121 rozložíme jako 11*11. To je to samé jako 11 na druhou. Takže 121 odmocníme na jedenáctku, tím se dostane před odmocninu (pod kterou už nic nezůstane) a která se vynásobí s předem odmocněnou pětkou. Kapišto?

doplněno 28.03.11 19:25:

.

Jak určím odmocninu bez kalkulačky

Ja to přád nechápu ja jsem na matematiku úplně vi víte co.

Potřeboval bch to vysvětlit u toho čísla 3025.


No mělo by to vyjít 55 jestli se nemýlím

 


2x

Cifry daného čísla rozdělíme na skupiny po dvou počínajíc od základního místa. První skupina odleva je 30. Odhadneme: √ 30 je více než 5, ale méně než 6. Napíšeme 5 do výsledku a pod 30 uvedeme výsledek umocnění 52, tj. 25. Odečteme od 30, ke zbytku připíšeme další dvojčíslí, tj. 25 a oddělíme poslední cifru, tj. 5. Odhadneme podíl při dělení čísla 52 dvojnásobným dosud napsaným výsledkem, tj. 10 (=2 . 5). Tento podíl, tj. 5, uvedeme jako další cifru do výsledku, připíšeme za číslo, kterým dělíme (10) a znásobíme 105 . 5 =525 a odečteme. Podobně postupujeme dále. Když na konci výpočtu nevychází zbytek nula, je odmocnina číslo iracionální a výše popsaným způsobem lze určit libovolný počet desetinných míst.

√30|25 = 55

-25

5 2|5 : 105 . 5

-5 2 5

0

doplněno 28.03.11 19:49:

Přikládám obrázek, zde se cifry posunuly, takže nejsou správně pod sebou. Celý postup připomíná písemné dělení, ale to již dnes žáci neumí.

A obrázek se nevložil. Tak to zkouším znovu.

Jak určím odmocninu bez kalkulačky #2

A trochu těžší příklad: odmocnina z 81 796

Jak určím odmocninu bez kalkulačky #3

 


2x

To jsou samé algoritmy a výpočty na stránku. Nešlo by to jem prostou úvahou, kdy 50x50 je 2500 a 60x60 je 3600. Tak výsledek bude v itervalu mezi těmito čísly. Výsledné číslo bude dělitelné 5 a tak vychází jen 55

V zásadě je to pravda, díky tomu, že ta odmocnina je celočíselná. Ty postupy jsou dobré na ovecný případ, ale otázka byla speciální. A protože kontrolou vyjde 55*55 = 3025, tak je to O.K.

Kdyby to nevyšlo, tak holt by nám ty algoritmy byly dobré, ale navíc i tentopostup lze vzít za základ algoritmu, zvaného metoda dělení intervalu. Když jsem zjistil, že odmocnina je mezi 50 a 60, tak rozdělím tento interval na půlku a zkusím; zde to vyjde přesně, ale kdybych odmocňoval třeba 3040, zjistil bych, že výsledek je mezi 55 a 60, tak bych zkusil třeba 57 (abych se aspoň pro začátek vyhnul zlomkům) a tak dále.

 


1x
avatar kartaginec

Petapeta uvádí jeden algoritmus, je popsán taky v mfweb.wz.cz/.... Jeho výhoda je v tom, že počítá postupně všechna desetinná místa popořadě. Existuje i jiný algoritmus, v podstatě iterační, který se mi skoro líbí víc, i když nepostupuje po des. místech. Jeho myšlenka je tato: pro začátek odmocninu (označme ji a, tedy a2 = 3025) odhadu (čím přesněji, tím lépe, ale kouzlo je v tom, že na té přesnosti mc nezáleží) , a pak se pokusím vypočítat opravu. Na příkladě, třeba s tou 3025. První odhad označím a1 a nastřelím ho třeba a1 = 50 (nebo chcete-li, a1= 100 000, ale to by trvalo déle), a opravu, chybu, označím e1, takže a = (a1+ e1) a

a2 = 3025 = a12 + 2a1*e1 + e12

To je kvadratcká rovnice pro e1, ale to se mi nelíbí, tak si řeknu, že to e1 bude malá chyba (při té druhé volbe a1 = 100 000 moc malá nebude, ale kupodivu metoda funguje stejně, ovšem z jiného důvodu), takže e12 bude ještě menší a můžeme ho zanedbat. Dostaneme tedy rovnici

3025 ≈ a12 + 2a1*e1 , v našem případě 3025 ≈ 50*50 + 2*50*e1 , 3025 ≈ 2500 + 100e1

odkud vypočteme e1 ≈ 5,25, a ≈ 55,25 (ta dvouvlka znamená přibližnou rovnost).

To číslo 55,25 samozřejmě není přesně odmocnina, ale vezmu to jako první opravu. čili druhý, vylepšený odhad a označím ho a2.= 55,25. No a s tímto lepším odhadem postup zopakuji a = (a2 + e2), 3025 ≈ a22 + 2a2*e2

e2(3025 - a22)/2a2 = (3025/2a2 -a2/2 ) (oba vzorce jsou správně, ale v tom prvním musíme umocňovat na druhou, čemuž se ve druhém vzorci vyhneme), s konkrétními čísly máme e2 ≈ 3025:110,5 – 55,25:2 = -0,25 (na dvě desetinná místa), a jako další odhad položíme a3 = 55 a hru opakujeme. V tomto případě ku podivu, právě díky zaokrouhlení, nám vyšl apřesná odmocnina; kdybych pošítal "přesnějí" na tři desetinná místa, dostal bych e2 = -0,249, a3 = 54,001 a ještě chvíli bych počítal.

Takže shrnu li algoritmus, bude to takto:

Počítám odmocninu z A, označenou a.

Krok 1: Zvolím jakkoli první aproximaci a1 a spočtu opravu e1 podle vzorce

e1 = A/2a1 - a1*/2; za druhou aproximaci a2 vezmu a1+ e1

2, Iterační krok: Mám-li spočtenu i-tou aproximaci ai, spočtu (i+1)tou aproximaci ze vzorce a(i+1) = ai + ei. kde

ei = A/2ai - ai/2

3. Tento postup opakuji tak dlouho, dokud oprava ei nebude dostatečně malá. Chci-li například počítat na pět desetinných míst, budu pracovat tak dlouho, dokud b nebude mít na prvních pěti des. místech nuly.
doplněno 29.03.11 13:18:

V popisu algoritmu u kroku 1 se mi připletla hvězdička; má to být takto:

==================================================

Krok 1: Zvolím jakkoli první aproximaci a1 a spočtu opravu e1 podle vzorce
e1 = A/2a1 - a1/2; za druhou aproximaci a2 vezmu a1+ e1
====================================

 

 


 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2020 Poradna Poradte.cz. Všechna práva vyhrazena. Prohlášení o ochraně osobních údajů. | [tmavý motiv]