Pokud mám nějakou matematickou transformaci souřadnic zobrazení z zakřivené plochy na rovinu, lze naprvní pohled zjistit, zda (lokálně pochopitelně) zachovává úhly,délky,směry nebo plochy pohledem na hodnotu/konstantnost stopy/determinantu nebo jiných charakteristik jacobiánu nebo hessiánu nebo dané transformace? To jestli se nepletu,je matice prvních nebo druhých derivací starých souřadnic podle nových. (nepřesná analogie je, že v případě 3D je determinant objem).
O jakou veličinu nebo funkci tedy jde pro:
úhel
délka
směr
velikost plochy
2x
Když se díváš na to, co transformace souřadnic dělá lokálně s tvarem, stačí ti Jacobián: matice prvních derivací. Ta ti říká, jak se chová nekonečně malý kousek plochy. Pokud je Jacobián čistě ortogonální (tedy zachovává skalární součin), pak se zachovávají délky i úhly. Když je to jen násobek ortogonální matice, úhly zůstanou stejné, ale délky se rovnoměrně zvětší nebo zmenší. Pokud má Jacobián různá zvětšení v různých směrech (vlastní čísla nejsou stejná), úhly se rozbijí a tvary se deformují. Pro plochu platí jednoduché pravidlo: determinant Jacobiánu udává, o kolik se elementární ploška zvětší nebo zmenší. Pokud má hodnotu 1, plocha se lokálně zachová. Jinými slovy: determinant hlídá obsahy, tvar matice JTJJ^T JJTJ ukazuje, co se stane s délkami a úhly.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.