Kombinatorika priklady

Zdravím,

tady je odkaz na teorii

spszengrova.cz/...

Příklad 44 :

Je to příklad na kombinace druhé třídy z n prvků. Kombinace druhé třídy je to proto, protože konkrétní průsečík je průsečík protnutí právě dvou konkrétních různoběžek.

C₂ (n) = 55

n je počet těch různoběžek

n krát (n-1) : 2 = 55

n krát (n-1) = 110

n² - n = 110

n² - n - 110 = 0

Řešením této kvadratické rovnice jsou čísla 11 a - 10

Řešením příkladu je číslo 11.

Poznámka:

Dle Vaších zápisků je pro označení kombinace používáno písmeno K.

Já pro označení kombinace používám písmeno C.

Poznámka:

Označení kombinace v textu toho souboru

C_k (n)

je stejné označení, jako označení

K (k, n)

Ahoj,

posílám 46+47, z toho můžeš usoudit na 45+48.

O správnosti zápisu se lze přesvědčit vyřešením příkladu.

Příklad 45:

K (k, n) = K (k, n - 4)

Jedná se o kombinace druhé třídy, takže za k dosadíme 2

K (2, n) = 3 krát K (2, n-4)

Použijeme opět vzorec pro kombinaci

n krát (n-1) : 2 = 3 krát (n-4) krát (n-5) : 2

n krát (n-1) = 3 krát (n-4) krát (n-5)

n² - n = 3 krát (n² - 5n - 4n + 20)

n² - n = 3 krát (n² - 9n + 20)

n² - n = 3 n² - 27n + 60

0 = 2 n² - 26n + 60

0 = n² - 13n + 30

Řešením této kvadratické rovnice jsou čísla 3 a 10

Řešením příkladu je číslo 10

Dá se to ověřit na kalkulačce. Kombinace jsou na kalkulačce počítány použitím funkce nCr

10 nCr 2 = 45

6 nCr 2 = 15

Poznámka:

Výsledek je 10 , protože otázka v zadání úlohy je to, vypočítat, jak velké je číslo, které je zmenšeno.

Zmenšeno je číslo 10 a po zmenšení se to číslo zmenšilo na 6.

Př. 49:

V tomto příkladě je použito tzv. kombinatorické pravidlo součinu, viz. např.

spszengrova.cz/...

Z množiny početu chlapců vybíráme 2 chlapce. Proto použijeme kombinaci druhé třídy.

Z množiny počtu děvčat vybíráme jednu dívku. Proto použijeme kombinaci první třídy.

K (2, 13) krát K (1, 15) = 78 krát 15 = 1170

Př. 48

Původní počet prvků je n

Počet prvků po zmenšení je n - 5

K (2, n) - 25 = K (2, n - 5)

K (2, n) = K (2, n - 5) + 25

n krát (n - 1) : 2 = (n - 5) krát (n - 6) : 2 + 25

Rovnici vynásobíme krát 2

n krát (n - 1) = (n - 5) krát (n - 6) + 50

n² - n = n² - 6n - 5n + 30 + 50

Z obou stran rovnice odečteme n² takže v tomto řešení nevzniká kvadratická rovnice

- n = - 6n - 5n + 30 + 50

10 n = 80

n = 8

Kontrola na kalkulačce je:

8 nCr 2 = 28

3 nCr 2 = 3

Př.47

Tento příklad je principielně podobný jako př. 48

Původní počet prvků je n

Počet prvků po zvětšení je n +4

K (2, n) + 30 = K (2, n + 4)

n krát (n - 1) : 2 + 30= (n + 4) krát (n + 3) : 2

Rovnici vynásobíme krát 2

n krát (n - 1) + 60 = (n + 4) krát (n + 3)

n² - n + 60= n² + 3n + 4n + 12

Z obou stran rovnice odečteme n² takže v tomto řešení nevzniká kvadratická rovnice

- n + 60 = 3n + 4n + 12

- 8n = - 48

n = 6

Původní počet prvků byl 6

Po zvětšení byl počet prvků 10

10 nCr 2 = 45

6 nCr 2 = 15