Dobrý den,
když řeším soustavu rovnic, gausovou eliminační metodou, a chtěl bych si čistě teoreticky předtim nějak rovnice poupravit a udelal bych tento krok: v soustavě rovnic bych přičetl např k prvnímu(a) řádku řádek druhý(b) a dostal bych upravený první řádek(a´), mohl bych si poté od řádku druhého(b) odečíst řádek první nikoliv ovšem ten upravený(a´) ale ten původní již neexistující neupravený řádek(a) a "paralelně ho takto využít zpět", počítal jsem na to mnoho příkladů kde se tato úvaha jevila jako správná, protože jsme vždy došli ke stejnému řešení jako když bychom použivali pouze alterované řádky. Nicméně stále platí fakt, že taková výše popsaná soustava nikdy nebude existovat protože jakmile upravým řádek první, původní nealterovaný přestane existovat a musím pracovat pouze s jeho upravenou verzí, protože pokud bych použil původní řádek(a to je pouze můj názor), matici kterou bych tím vytvořil by již nebyla ekvivalentní s tou původní, přestože nemění množinu řešení soustavy rovnic.
projistotu to přepíši ještě numericky :
původní soustava :první rovnice: a+b=c, druhá rovnice: x+y=z [k prvnímu řádku přičítám druhý a od druhého odčítám prvním ovšem nikoliv alterovaný ale ten původní netknutý který nám už z nabídky soustavy zmizel]
Po úpravách dostanu tedy první rov:(a+x)+(b+y)=c+z, druhá rov: (x-a)+(y-b)=z-c,
poté, když si z toho sestavím matice, zůstavá otázkou zdali je tedy ekvivalentní si takto paralelně volat nějaké původní zaniklé nealterované řádky, zdali to náhodou nemení řešení matice.
Vím že tento krok který který popisuji je absolutně zbytečný a člověk si tím přidává spíše práci místo toho aby začal rovnou efektivně eliminovat a převádět na schodovitý tvar. Já se ale tento problém táži hlavně z matematického hlediska a vím že nemá smysl toto v praxi využívat. Pouze mě zajímá zdali tato provedená úprava je ekvivalentní a zachovává řešení rovnice, nebo se jedná pouze o jakýsi heurestický přístup který nám sice zachová správné řešení ale čistě z matemitkcého hlediska je nesprávný. Třebas něco podobné jako když v diferencialních rovnicích a integrací substitucí pracujeme s dy/dx jako se zlomky a také se tváříme že je vše ok. Nutno podoknout ještě k tomu zpětnému využívání původních nealterovaných řádků že jsem si to tolik neověřoval na příkladech kde by vycházelo nekonečně mnoho řešení, tedy nějaké obecné parametrické řešení. Je možné že zde bychom mohli dostat třeba nějaké jiné řešení. Mým názorem tedy zůstává že použít např. v 10.kroku gausovy eliminační metody nějaký původní nealterovaný řádek není ekvivalentní, i přesto že dostaneme stejné řešení soustavy rovnic.
Jestli je někdo ochotný mi poskytnout vysvětlení a říci mi zdali uvažuji správně, nebo je výše zmíněný postup naprosto v pořádku, budu rád když se podělí o své zkušenosti a názor. Děkuji a přeji Vám hezký den
0x
Řádek rovnice sice zmizel "z nabídky", ale matematicky nepřestal platit. Pořád ho lze použít, protože obě jeho strany se stále rovnají, na tom se nic nezměnilo. Můžete prakticky libovolně kombinovat všechny řádky, které Vám ekvivalentními úpravami vyjdou, a určitě se najdou specifické situace, kdy Vám taková úprava usnadní cestu. Jen je potřeba dávat pozor, abyste pak nedělal další a další zbytečné řádky, které nevedou k cíli nebo abyste si nevyrobil řádek 0x+0y=0, ten by Vám v dalším výpočtu moc nepomohl a musel byste se vrátit o krok (nebo o víc kroků) zpět.
Dobrý den, děkuji za komentář, jak jste dobře poznamenal "abyste si nevyrobil řádek 0x+0y=0". Teď ste mne navedl na novou myšlenku, protože přesně z tohoto důvodu, bychom mohli sklouznout do toho, že soustava má nekonečně mnoho řešení. Když bychom nedělali tuto úpravu, o které jsme předtím diskutovali, pravěpodobně(záleží na zadání) bychom se do stavu, aby nám vzniklo 0x+0y=0 bez této úpravy (použití původních nealtorovaných řádků) nedostali. zkusil jsem to předchvílí na jednom takovém příkladu z učebnice , kde jsem si tímto způsobem vynuloval dva řádky a matici již poté šlo řešit pouze obecným řešení, které je typické pouze pro soustavu rovnic která má nekonečně mnoho řešení, přestože matice byla postavená tak aby nám vyšli konkrétní hodnoty, které jsme poté když jsme si matici převedli na trojuhelníkový tvar pomocí zpětné substituce dopočítávali. Matici jsem poté samozřejmě zkusil vypočítat tak že jsem používal striktně aktualní řádky a netahal si žádné paralelně a dostal jsem se ke konkrétním hodnotám proměnné.Ale jak jste zminoval dokud se budu držet tohoto "abyste si nevyrobil řádek 0x+0y=0" je jasné, že mohu použít námi diskutovanou úpravu a ke správnému výsledku se také dostanu, ale jen za té podmínky abych si nevyrobil nulový řádek, protože pak se podle mých výpočtů(pokud jsou správné) může změnit množina řešení jak jsem výše popsal. Zkusme si to představit z pohledu třetí osoby, která dostane za úkol po nás dopočítat takto upravenou matici(ale pouze tu špatně upravenou která vznikla paralelním používáním neupravených řádků), pravděpodobně ta osoba nebude asi zkoumat že předtím byly nastevené nějaké podmínky že si nesmím vyrobit nulový řádek. Z toho důvodu pokud mu to námi předtím takto špatně upravená matice nabídne, dopočítá ji, vzniknou mu nulové řádky a dostane nekonečně mnoho řešení, tj.obecné řešení a s největší pravděpodobností nebude hledat jestli tahle matice náhodou předtím nevznikla nějakou takovouto špatnou úpravou.
Přestože aritmetcky za určitých podmínek vychází správné hodnoty tak si stále stojím za tím že to z čistě matematického hlediska není úplně v pořádku postup, nicméně ale pokud dodržíme tu Vámi dobře zmíněnou podmínku "abyste si nevyrobil řádek 0x+0y=0", vždy dostaneme správné řešení. Jestli je někdo kdo má podobný názor nebo protinázor,a chce se o něj podělit tak mu děkuji za zapojení do diskuze.
Ono mnoho postupů nemusí být úplně OK. Je důležité aby vedly ke stejnému výsledku, stejně jako jsem zminoval to že se s derivací(dy/dx) pracuje v diferenciálních rovnicích jako se zlomky, při klasické integraci zase dx znamená že derivujem podle x, při integraci substitucí se tam najednou mezi integrovanou funckí a dx nachází krát, atd.. atd.., limity, dělení nulou... to si myslím že vzbuzuje větší zmatek. Hezký den
Ta rovnice je zadaná jako soustava vektorů a pravých stran. Pokud je zadaná s jednoznačným řešením, tak to znamená, že ty vektory jsou nezávislé a jsou to tedy tzv. báze. Dokud udržíte N nezávislých vektorů a nepodaří se vám jednu bázi úplně eliminovat, tak se Vám to bude fungovat. Jak půjdete se vzděláním dál, tak se budete učit o vektorové algebře a tam Vám to celé dojde.
Ano přesně tak bych to viděl taky. Ten pokyn počítat jen s těmi novými řádky je tam obecně, aby se žák nezahnal do té pasti, že si zlikviduje tu jednu bázi. Při větších počtech neznámých si toho nemusí ani všimnout, protože zdánlivě budou všechno rovnice vypadat pořád normálně a musel by se třeba vracet mnoho kroků zpět. Pokud bude používat jen ty nové soustavy, tak se mu to nestane, pokud tedy neodečte přímo A - A.
Pokud budete mít třeba soustavu tří rovnic o třech neznámých, může se vám nevhodným odečítáním stát, že všechny tři vektory budou v jedné rovině (která může být mimoběžná ke všem hlavním souřadnicovým rovinám) a přestanou tvořit bázi trojrozměrného prostoru. Přitom budou pořád zdánlivě normální tři rovnice.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.