Vypočítať príklady - komplexné čísla

Jen pro úplnost (pro přehlednost jsem kořeny a diskriminant podbarvil) včetně neúspěšného pokusu, no ne vždy se daří a proto je potřeba po sobě věci kontrolovat nezávislým postupem (dělat u rovnic zkoušku je dobrý zvyk)

>> A=1

A =

1

>> B=-(2+j)

B =

-2.0000 - 1.0000i

>> C=-1+7*j

C =

-1.0000 + 7.0000i

>> D=B^2-4*A*C

D =

7.0000 -24.0000i

>> X=-B+[1 -1]*sqrt(D)/(2*A)

X =

4.0000 - 0.5000i 0 + 2.5000i

>> X.^2-(2+j)*X-1+7*j

ans =

6.2500 -4.7500 + 2.0000i má být 0 a neni

nevychází zkouška, no jo, zapomenutá závorka

>> X=(-B+[1 -1]*sqrt(D))/(2*A)

X =

3.0000 - 1.0000i -1.0000 + 2.0000i

>> X.^2-(2+j)*X-1+7*j

ans =

0 0

>> už je to v pořádku, zkouška potvrdila správnost řešení

V tom případě vemte moivrovu větu (to je věta, která říká, jak umocnit komplexní číslo) a dosaďte do ní. Jak si tak připomínám co to přesně je ( cs.wikipedia.org/... ), tak vidím že akorát bude potřeba převést číslo ze složkového do goniometrického tvaru, teda spočítat absolutní hodnotu a argument (úhel). Výsledek musí vyjít stejný a ten už máme zkontrolovaný kalkulačkou. Jen mi to přijde komplikovanější, ale jen se pocvičte.

(2+i) = odm(2²+1²).e^i.-tg(1/2) = odm(5).e^-i.26,5°

(2+i)³ = [odm(5)]³.e^-i.3.26,5 = 11,18.e^-i.79,5 = 11,18.cos(79,5) + 11,18.sin(79,5) = 11,18.0,18 + 11,18.0,98 = 2 + 11.i

Taky bych se na tomhle zarazil. Zrovna včera jsem přemýtal, jak bych to počítal bez kalkulačky (což jsem musel opravdu naposledy když jsme dělali komplexní čísla na průmyslovce, jinak komplexní čísla na kalkulačce mám odjakživa, takže když zrovna nešlo o postup, používal jsem ji). Odmocninu podle mě spočítáte jako mocninu na 1/2 z té něty, takže n je pro Vás 1/2 a postupujete jako normálně (snad v té moivrově větě není nějaká restrikce na číselný obor n, třeba omezení jen na celá čísla).

Ta odmocnina vychází pěkně na 4-3j takže by měla jít spočítat nějak rozumně.

Absolutní hodnota D vychází na 25, argument nějaké iracionální číslo (-1.287 rad nebo -73.7398 stupně)

Teď umocňování znamená, že se umocní absolutní hodnota (tady odmocní) tedy odm(25)=5 a úhel vynásobí exponentem tedy -73.7398°*1/2=-36.8699° což převedeno do složek je 4-3j

Tady je jasné, proč je ten exponenciální nebo goniometrický nebo jak mu ještě budeme říkat tvar (prostě absolutní hodnota a fáze) tak výhodný pro násobení a umocňování.

Násobení znamená, že se znásobí amplitudy a sečtou argumenty, je to o poznání jednodušší než násobení dvojčlenů při použití složkového tvaru.

Sice jsem pravil, že tyhle věci počítám na kalkulačce, ale základní představa o významu komplexního násobení a umocňování je pro mě tak důležitá, že to jsem nezapomněl (ostatně měli jsme na tohle téma více rozprav na vysoké škole, kde se to zrovna hodilo). Ono třeba představte si, že chcete nakreslit n-úhelník. Tak pokud vím to, co jsem tu před chvílí napsal, tak stačí si určit jeden vektor, jeho koncový bod (v komplexní rovině) bude jeden vrchol a ostatní vrcholy se získají tak, že se tento vektor (zobrazený komplexním číslem) násobí komplexní jednotkou s úhlem 360/n tak je možné získat souřadnice vrcholů během chvilinky pro libovolné n. A komplexní čísla po drobné donucovací kúře umí i excel. A co třeba takové otáčení, než mě napadnul ten spásný nápad násobit komplexní jednotkou otočenou o žádaný (v čase proměnný úhel) tak jsem se ze sínů a kosínů nemohl vyhrabat stejně jako moji dva kolegové, se kterými jsme si v těch transformacích (z rotující soustavy do stojící a naopak) chtěli udělat pořádek.

@ml1 už to tady spočítal (výsledek jsem uvedl už dříve), tak jen rozepíšu do vzorců, co už bylo řečeno.

odm(.) ... odmocnina z (.)

Chceme spočítat odm(7 - 24i):

Převod (7 - 24i) na exponenciální tvar:

(7 - 24i) = odm(7²+24²).e^i.tg(24/7) = 25.e^i.73,74° ; nezapomenout, že úhel se počítá od osy x (od "3 hodin") po směru hodinových ručiček

odm(7 - 24i) = odm(25.e^i.73,74°) = odm(25).e^{i.(1/2).73,74°} ; všimněte si té jedné poloviny před úhlem (obecně n.α, kde n je počítaná mocnina/odmocnina)

odm(25).e^{i.(1/2).73,74°} = 5.cos(36,87°) - 5.sin(36,87°) = 4 - 3.i ; musí tam být mínus, protože úhel 36° padá do pravého spodního čtverce kartézské soustavy souřadnic, kde reálná část komplexního čísla má kladnou hodnotu a imaginární část zápornou hodnotu

> Vašej odpovedi, ktorú uvádzate nerozumiem, napr. sqrt a iné značky

sqrt = square root = (anglicky) druhá odmocnina

Je to běžně používaná zkratka v textech, kde nelze (jednoduše) napsat znak odmocniny.

Jaké další značky jsou nejasné?

> nezapomenout, že úhel se počítá od osy x (od "3 hodin") po směru hodinových ručiček

Koukám, že jsem to napsal blbě a mám to přesně opačně Já si vždycky hlídám znaménka složek komplexního čísla v soustavě kartézských souřadnic a úhly goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, takže mi ten přesný vzorec vypadl z hlavy, protože ho nepotřebuji.

Musím přiznat, že nepamatuji, že bych kdy řešil kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty.