Po obvodu kruhu jsou napsána čísla 1, 2 a 3. Mezi každá dvě sousední čísla zapíšeme jejich součet, získáme tak šest čísel (1, 3, 2, 5, 3 a 4). Pokud tento postup zopakujeme ještě čtyřikrát, získáme celkem 96 čísel zapsaných po obvodu. Jaký je součet všech těchto čísel?
Jako můžu si to nakreslit a ručně spočítat, ale to není moc efektivní. Jak to spočítat matematicky, podle nějakého "fíglu"?
4x
Jde o jednoduchou geometrickou posloupnost.
V prvnim kroce mas sumu cisel a+b+c.
V druhem kroce mas predchozi sumu a k tomu jeste kombinace a+b, a+c, b+c. Tedy 2a+2b+2c. Tedy 2x(a+b+c).
Dohromady mas v druhem kroce tedy 3x(a+b+c).
A uz se rysuje patern.
V tretim kroce mas 6 nasobek souctu, v dalsim 18 nasobek souctu atd.
Jinymi slovy, kazdy krok je 3 nasobek kroku predchoziho.
Jde tedy o geometrickou radu, kterou lze zapsat jako an=a1*qn-1 s kvocientem 3, kde a1 je pocatecni suma libovolneho poctu posobe jdoucich pocatecnich cisel na kruznici. Tedy a1=suma(xi), i jdouci od 1 az do k, kde k je pocet pocatecnich cisel, x jsou jednotliva za sebou jdouci cisla cisla.
doplněno 16.03.22 19:38:
Neboli, kdyz chces ten postup 4x zopakovat - tomu rozumim jako prvni krok a1 a k tomu 4 opakovani, tedy a2, a3, a4, a5.
tak pak an=a1*qn-1 = a5=a1*q3 = 6*34 = 486.
0x
Figel je v tom, ze pocet cisiel na obvode kruhu v kazdom kroku stupne na dvojnasobny, to je zrejme, pisete cisla medzi existujuce, cim ich bude raz tolko. Zaciname s 3, potom ich je 6, 12, 24, 48 ,96
Dalej, nie je dolezite, ake cisla su na zaciatku, ci 1, 2, 3 alebo ine, dolezity je ich sucet.
Totiz ked mate sumu a1, a2, a3 ... an, tak v dalsom kroku scitavanim susednych cisiel sa kazde objavi dvakrat, napr a1 sa scita s a2, ale aj s an, sucet je dvojnasobny voci predoslemu kroku.
Priklad : na zaciatku 1 + 2 + 3 = 6
dalsom kroku vzniknu 3 + 4 + 5 = 12 a 12 = 2 x 6, co nie nahoda a celkovy sucet na obvode kruhu je 6 + 12 = 18, co je trojnasobok predosleho kroku a takto sa to opakuje
Dalo by sa to este lepsie formalne zapisat a spravit dokaz indukciou.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.