3x
Tak jsem si o tom včera přemýšlel, ale koukal jsem na TV a dnes dopoledne jsem pískal, takže k formulaci a napsání výsledků jsem se dostal až dnes odpoledne. Takže shrnuji:
1. Jirbarův nápad, zkusit x = y = z byl dobrý, ať už byl inspirován geometrickou představou nebo třeba tou symetrií všech rovnic, a dal jedno, respektive vlastně dvě řešení. Ta geometrická představa byla inspirativní, ale skutečně trochu upozdila fakt, že x, y, z nemusí být kladná čísla. Záporná být mohou, protože je neodmocňujeme, ale umocňujeme, a to se smí.
2. Ta moje první myšlenka všechny rovnice umocnit a sečíst mi sice přišla svůdná, ale vcelku k ničemu nevedla.
3. Cesta k úplnému řešení může vést přes umocnění kařdé rovnice a následné úpravy, které hned popíšu; jen je třeba mít na paměti, že umocňování není ekvivalentní úprava a múže nějaká potenciální ešení přidat, takže je nutná následná zkouška. A ty úpravy jsou následující: vždy dvě rovnice po umocnění odečteme a upravíme, předvedu na prvních dvou.
x^2 + y^2 = z^2 + 2z + 1; y^ +z^2 = x^2 + 2x + 1
a po odečtení a dalších elementárních úpravách (mám je rozepisovat? Využívají vzorec pro rozdíl čtverců) vyjde
(x-z)(x+ z + 1) = 0
podobně
(z-y)(z + y + 1) = 0
třetí analogickou rovnice nemusíme psát, protože je součtem těchto dvou; zase to není ekvivalentní úprava, klesl nám počet rovnic, takže další důvod ke zkoušce. Nicméně řešení původního systému řeší i tyto rovnice, takže když najdeme jejich řešení (stejně se ještě budeme vracet k těm původním) a zkouškou vybereme ta správná, máme to.
Teď, každá z těch dvou rovnic je součinem dvou lineárních členů, takže naše řešení anuluje v každé z nich (aspoň) jednu ze závorek.
Pokud tedy platí (x+ z + 1) = 0, (z + y + 1) = 0, odečtením dostaneme x=y, z první vstupní rovnice dostaneme x*sqrt[2] = z+1, přičteme-li k tomu x, dostaneme
x*(1+sqrt[2]) = 0, x = 0 = y, z = -1; ze symetrie samozřejmě je řešením i x =z=0, y = -1, jakož i y=z=0, x = -1, což také dostaneme z těchto rovnic, viz dále..
Je-li (x-z)=0, (z-y)= 0, je x = y= z a po dosazení do původních rovnic dostáváme jirbarovo řešeni
No a pokud ty součinitele anulujeme křížem, tedy (z-y)=0 , (x+ z + 1) = 0; respektive (x-z)=0, (z + y + 1) = 0, pak analogicky jako v případě (x+ z + 1) = 0 a zároveň (z + y + 1) = 0 dostaneme y=z=0, x = -1, respektive x =z=0, y = -1,
Jinak si můžete všimnout, že jsem vlastně vůbec nedělal tu propagovanou zkoušku. Ona je totiž v podstatě implicitně skryta v tom, když jsem pro dopočítání dosazoval do původních rovnic. No, já jsem, pravda, dosadil do jedné z nich, takže správné by bylo stejně ji provést s těmi zbylými dvěma, ale protože je to analogické, z pohodlnosti jsem si to odpustil, nicméně je to metodická chyba.
Tak zas tahám papír z koše. Taky jsem skončil na y^ = x + z + 1 což je y^ - 1 = x + z a rozdíl čtverců se nabízel. Pak mne napadla ta krychle.
No ale snad je nejdůležitější, aby se zapojil hlavní řešitel.
Tak on to není zas tak úplně jednoduché, abych to sypal spatra, není to zase standardní úloha a bylo třeba o ní přemýšlet. A na to byl čas, když šachisti v klidu hráli a nic ode mne nepotřebovali.
dekuji moc ani jsem nečekal v takovou pomoc, mohl bych ale ješte poprosit a ty "elementarni upravy" ktere v tom prvni kroku jsou označeny jako rozdily čtverců?
beru zpet, tohle nechapu pochopil jsme ty upravy, tudíž podsud : (x-z)(x+ z + 1) = 0
podobně
(z-y)(z + y + 1) = 0
Teď přesně nechápu, co nechápete. Řekl bych, že umíte odvodit rovnici
(x-z)(x+ z + 1) = 0
a co dál? Pokud nevíte, jak odvodit
(z-y)(z + y + 1) = 0
tak to je stejné jako ta předchozí rovnice, jen po odečtení kvadrátu třetí rovnice od kvadrátu druhé. Pokud vám jde o to, co jsem dělal dál, vycházel jsem z toho, že součin dvou výrazů je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden z nich je nulový, a rovnici
(x-z)(x+ z + 1) = 0
jsem řešil "nadvakrát, jednak jako rovnici x=z = 0, jednak jako rovnici (x+ z + 1) = 0. Totéž s tou druhou, takže jsem kombinoval dva krát dvě = 4 kombinace.
to co jste popsal ješte chapu,ale jak jste se odsud (x-z)(x+ z + 1) = 0 dostal k vysledkum x=y=0 z=-1 nejak nechapu
Pokud já to dobře chápu (a tento tvar jsem při řešení opustil) tak rovnice je nulová právě tehdy kdy je x=z nebo x + z = -1
Pochopitelně, že tytéž hodnoty musí platit i pro další 2 rovnice a to je splněno jen tehdy, když dvě proměnné jsou nulové a ta třetí je mínus jedna.
Tak tak. Nesmíš zapomínat, že pracujeme s oběma rovnicemi (x-z)(x+ z + 1) = 0, (z-y)(z + y + 1) = 0. Konkrétně tenhle výsledek vychází z varianty, v níž předpokládám, že (x+ z + 1) = 0.(z + y + 1) = 0, a postup popisuji, cituji:
Pokud tedy platí (x+ z + 1) = 0, (z + y + 1) = 0, odečtením dostaneme x=y, z první vstupní rovnice dostaneme x*sqrt[2] = z+1, přičteme-li k tomu x, dostaneme
x*(1+sqrt[2]) = 0, x = 0 = y, z = -1;
(Tou první vstupní rovnicí myslím samozřejmě Sqrt[x x + y y] == z + 1)
1x
Ať na to zadání koukám jak koukám, tak před sebou vidím pouze krychli jejíž stěnová uhlopříčka je o 1 větší než třetí strana a to platí cyklicky proto ta krychle.
No a pak vyjde že x = y = z = 1 + Sqrt(2)
doplněno 09.01.11 01:18:Ovšem důkaz, že se jedná o jedinečné řešení, ten nemám
Nevím o co jde ale zkouška přece vyjde.
Sqrt((1 + Sqrt(2))^ + (1 + Sqrt(2))^) = 1 + Sqrt(2) + 1
Sqrt(2(1 + Sqrt(2))^ ) = 2 + Sqrt(2)
2(1 + Sqrt(2))^ = 4 + 2Sqrt(2) + 2
2(1 + 2Sqrt(2) + 2) = 6 + 2Sqrt(2)
2(3 + 2Sqrt(2) ) = 6 + 2Sqrt(2)
6 + 2Sqrt(2) = 6 + 2Sqrt(2)
doplněno 09.01.11 13:35:Teď jsem si tak uvědomil, že je to vlastně soustava rovnic a nikoliv krychle kterou mi to připomíná, tak vlastně existuje i další řešení a to
x = y = z = 1 - Sqrt(2)
doplněno 09.01.11 15:46:A počítáš vůbec. Asi ne, jinak by jsi viděl moji chybu v kontrole
2(1 + Sqrt(2))^ = 4 + 4Sqrt(2) + 2
2(1 + 2Sqrt(2) + 2) = 6 + 4Sqrt(2)
2(3 + 2Sqrt(2) ) = 6 + 4Sqrt(2)
6 + 4Sqrt(2) = 6 + 4Sqrt(2)
Zbrkle opisováno z papíru
prvni rešeni je spravne,ale pochybuju že jedine, 1-sqrt (2) neni vysledek,odmocnina nemuže byt ze zaporneho čísla, aspon v obru realneho čisla ne 
Kdo tady odmocňuje záporné číslo?
Jinak jediný vysledek to skutečně není, ještě je možné x = y = 0, z = -1 a další cyklicky zaměněné; a to bude všechno, jak se nakonec káže celkem snadno. A nechco zlyšet, že z = -1 není řešení, protože je to záporné.
Nepochybuj a hledej. Od toho tady já nejsem. Že odmocnina nemůže vyjít záporně je snad jasné již z pravé strany rovnice, protože 2 - Sqrt(2) není záporné číslo. Příklad je to dost těžký takže asi nejsi na základce. V tom případě bych čekal jinou odezvu.
No ale dnes, když jsou prachy, tak se nechá koupit i titul.
Sqrt((1 - Sqrt(2))^ + (1 - Sqrt(2))^) = 1 - Sqrt(2) + 1
Sqrt(2(1 - Sqrt(2))^ ) = 2 - Sqrt(2)
2(1 - Sqrt(2))^ = 4 - 4Sqrt(2) + 2
2(1 - 2Sqrt(2) + 2) = 6 - 4Sqrt(2)
2(3 - 2Sqrt(2) ) = 6 - 4Sqrt(2)
6 - 4Sqrt(2) = 6 - 4Sqrt(2)
doplněno 09.01.11 16:11:
Tak jsem pořád čekal na Kartagince a již jsem se dočkal
doplněno 09.01.11 16:37:Jinak fakt je, že řešení 0,0,-1 0,-1,0 a -1,0,0 mne teda nenapadlo. To již má 5 různých řešení.
počital jsme na kalkulačce kde jsme si dosadil a jedna strana stejne jako druha vyšla 3,41 a to mi stačilo...na tvou zkoušku jsme se zkutečne nedival
0x
Buď již si moc nepamatuji, ale co je třeba "xx". To je dvoupísmenová proměnná, nebo "x" na druhou.
A dvě rovnítka. Teda znám rovná se, nerovná se, přibližně rovná se, nic mi to neříká.
0x
Zadání je nyní po doplnění srozumitelné, ale na matice to nevypadá, rovnice nejsou lineární. Jsou to nicméně třirovníce pro tři neznámé, tak by to mělo jít,a ale ne první pohled nevidím, jak. Chce to nějaký trik, zkusím zapřemýšlet; pro začátek mne napadá všechny tři rocnice umocnit na druhou a sečíst, ale co s tím dál, zatím nevidím.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.