Fyzika- vysvětlení

Už si ty věci skoro nepamatuju a integrály jsem neuměl nikdy, no ale ...

Když budu předpokládat, že platí ta rychlost výtoku odm(2hg) (nevím, nechce se mi to ověřovat), tak je pravda, že dírou o ploše S poteče objem S*odm(2hg). Objem značíme V a ten výtok (vytečený objem) závisí na čase (na klesání hladiny), takže V=S*odm(2hg), kde V je derivace V podle času (v obrázku značeno tečkou nad V), "h" závisí na čase. Objem ve vědru je pí*r^2*h, takže změnu (úbytek) objemu můžem napsat jako V = pí*r^2*h = -S*odm(2hg), kde h je derivace výšky podle času (v obrázku zas s tečkou nad h).

Takže máme h=-S*odm(2hg)/(pí*r^2)
po úpravě h=-S*odm(2g)*odm(h)/(pí*r^2)
Když si vytkneme konstantu C=-S*odm(2g)/(pí*r^2)
tak dostaneme h=C*odm(h)
To zintegrujeme a prý ( ) to pak je: h = 1/4*(C^2*t^2 +2K*C*t+K^2),
"h" je samozřejmě funkcí času, K je nějaká konstanta.

To v závorce lze napsat jako (C*t+K)^2; podle vztahu
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,
takže h(t)=1/4*(C*t+K)^2 = (1/2*C*t + 1/2K)^2

Teď bych řekl, že stačí vědět, že v čase t=0 je výška h(t)=h₀, budu ji dál značit H.
h(t=0)=H=(1/2*K)^2, takže K=2*odm(H).

No a máme: h(t)=(1/2*C*t + 1/2*2*odm(H))^2 = (1/2*C*t + odm(H))^2
Rozepíšeme C: h(t) = ( 1/2*(-S*odm(2g)/(pí*r^2))*t + odm(H) )^2
h(t) = (odm(H) - S*odm(g/2) / (pí*r^2) * t)^2

Asi. Hurá.

Ksakru! Po odeslání zmizely apostrofy, kterými jsem značil derivace. Sakra, hnusnej editor! Proč se do toho tak se.e?!

V případě vytažení neděravého vědra je vyjádření jednoduché.

E_p = m . g . H

E_p : m = g . H

V případě vytažení děravého vědra by vyjádření spotřebované energie mělo být integrálemm, protože množství vody ve vědru se průběžně mění.

Možná je řešení takto:

Vyjádření momentální výšky hladiny ve vědru h je vyjádřeno tím druhým vzorečkem na obrázku.

Vzorec momentálního množství vody ve vědru je:

m = ρ . π . r² . h

E_p = m . g . H_m

E_p / . g = m . H_m

H_m je momentální výška vědra

H_m = v . t

Možná je potřeba vytvořit předpis funkce, ve které m je závisle proměnná a H_m je nezávisle proměnná a pak tu funkci zintegrovat v mezích 0 a 25 a výslednou hodnotu vynásobit g

Přehledné řešení je možná v souboru, na který vkládám odkaz (na str. 37):

Nedíval jsem se na to řešení podrobně.

fyziklani.cz/...

Vyjdeme ze zákona kontinuity (spojitosti) toku, který říká, že průtok vody širším i užším místem trubice je stejný, tj. S₁v₁ = S₂v₂ , kde

S₁ ... průřez vědra

S₂ ... velikost otvoru (S = 1 cm²)

v₁ ... rychlost poklesu hladiny ve vědru, kterou můžeme vyjádřit jako derivaci výšky h podle času t

v₂ ... rychlost vytékající vody, pro kterou platí uvedený vzorec s odmocninou (lze jej odvodit ze zákona zachování energie).

Tyto čtyři veličiny dosadíme do rovnice kontinuity a uvážíme znaménko.

Na levé straně rovnice je derivace výšky (h) podle času. Jelikož výška vody ve vědru klesá, je derivace záporná. Na pravé straně je však kladné číslo. Aby rovnice platila, připíšeme na pravou stranu minus.