Rovnoramenný trojúhelník

Jde to i bez tabulky, sinus třiceti spočtu na základě toho, že je to polovina úhlu při vrcholu rovnoRAMENNÉHO trojúhelníka. A jak píše kjanik, druhý úhel je 60 a tedy je to přímo úhel rovnoramenného trojúhelníka. No a jsme u Luise a jeho Pythagora.

No jak říkám, u těhle úhlů se bez kosinů a sinů obejdeš. Kosínus, například, je poměr mezi přilehlou odvěsnou a přeponou, to by se tady hodilo, tak, jak ti to popisovali, v tom trojúhelníku vzniklého tak, že od úhlu gama spustíš výšku a zaměříš se na vzniklý pravoúhlý trojúhelník s úhlu alfa, gama půl a devadesát, znáš právě to přilehlou odvěsnu (= 12) a přepuna je strana. Ale když je jeden úhel třicet, tak druhá jeho odvěsna je půl hledané strany (proč?) a pomůže ti starý dobrý Pythagoras.

Píšu to schválně takhle trochu neurčitě, jen jako návod, abys měl taky o čem přemýšlet, ale snad by ti to mělo stačit.

PARDON, PŘEPIS, TA PŘILEHLÁ ODVĚSNA JE 12/2=6

Máte pravdu. K úplnému vyřešení trojúhelníka (k nalezení všech informací o něm) musíme obecně zadat tři údaje, v případě pravoúhlého trojúhelníka jedním z nich je ta pravoúhlost, tedy je zadán jeden úhel, takže potřebujeme ještě dva další. t

To může být strana a další úhel, pak je přímá cesta užití goniometrických funkcí, nebo dvě strany, pak sice rovněž mohu jít přes goniometrické funkce. ale jednodušší a přímočařejší je použít Pythagorovu větu. Ale mohou být zadány i jiné dva údaje. V našem případě je to tedy strana a úhel, čili nabízí se cesta přes sinus, cosinus, tangentu. (Mimochodem, jak tyto funkce zjistíme? Odpověď, že v tabulce, je pro praxi správná, ale teoreticky neúplná; mohu se ptát, jak ten sinus zjistili tvůrci tabulek. Šlo by to například tak, že bych trojúhelník zkonstruoval a všechny potřebné údaje si změřil, což je teoreticky v pořádku, bohužel takto mohu dosáhnout jen omezené přesnosti. Tvůrci tabulek, případně vědecké kalkulačky používají nekonečné řady; teoreticky náročnější, ale lze dosáhnout přesnosti libovolné.) Pokud by, jak říkáte, ten zadaný úhel byl obecný a ne třicetistupňový, asi by jiná cesta nebyla (nebo možná byla - geometrická konstrukce a změření, stačilo by změřit strany, cosinus bychom už počítat nemuseli). Ale u třicetistupňového úhlu lze využít toho, že takový trojúhelník je polovinou rovnostranného. Označím-li přeponu takového trojúhelníka c, odvěsnu proti úhlu 30 (stupňů) b a odvěsnu proti 60 stupňů a. samozřejmě platí Pythagoras a^2 + b^2 = c^2, a v našem případě znám stranu a = 6. Navíc ovšem vím, že c = 2b, a tento vztah je ten druhý údaj, který nám pomůže obejít se bez goniometrických funkcí a použít pouze Pythagora: v rovnici a^2 + b^2 = (2b)^2 je totiž jen jedna neznámá, totiž b. (Na závěr můžeme jako premii ty goniometrické funkce spočítat, ale když už budeme znát strany, nebudeme je potřebovat.)

Díky za vysvětlení.Já se matematiku učil těžko, ale co jsem se naučil, si pamatuju do dneška, takže technické výpočty co potřebuji, zvládám.Vidíte, přátelé, že i my, rádci, se tady vzájemně obdarováváme.Ten ví to, ten zase tohle, a dohromady už lecos zmůžem.Přeji všem dobrý Nový rok.

Ale sinus tazatel nezná, tak proč ho sem cpát, když to jde bez něj? (S ním to jde samozřejmě také a řešení je v tomto smyslu správné.) Navíc tento výpočet (s tabulkami) je přibližný, Pythagoras dá x = 4 * sqrt(3)

sqrt znamená odmocninu)

což sice, pokud budu za odmocninu dosazovat, dá také jen přibližnou hodnotu, ale v této podobě je to přesné. také

Už si s tím chvíli mořím hlavu, matematiku jsem dávno zapomněla, ale vyšla mi taková zajímavost (možná to tam někde píšete a já si toho nevšimla). Když vycházím z toho, že úhel 30° je polovina ze 60° t.j. rovnostranného trojúhelníku a narýsovala jsem to, tak se mi do toho rovnostranného vejdou přesně tři trojúhelníky z původního zadání. Není tohle cesta k výpočtu?

Na tohle neumím odpovědět, dokud nabudu přesně vědět, jak jste si to narýsovala, aby se tam vešly. Já bych ty trojúhelníky popsal a poprosil, o popis Vaší konstrukce.

Tak ten původní trojúhelník bych označil ABC, s tím, že strana AB je základna, takže délka úsečky AB je 12, úhel CBA i CAB je 3O stupňů a úhel ACB je 60 stupňů. Ještě bych to doplnil o bod S, který je středem základny AB. Mohu se nyní zeptat, kde jste si narýsovala ten rovnostranný trojúhelník a jak se tam vešel ten původní třikrát? Na základě toho bych přemýšlel dál.

Nejsnazší, ale ne nejrychlejší by bylo narýsovat, naskenovat, poslat. Tak to zkusím popsat. Základna AB = 12 cm na obou stranách úhel 30° protilehlý úhel 120° ( součet stupňů 180°). Když zvětším úhly po stranách základny AB ze 30°na 60°, protnou se ramena opět v úhlu 60° ( zas 3x60=180°) a rázem se stane trojúhelník rovnostranným o straně 12 cm. Když spustím kolmice z každého vrcholu k protilehlé straně, protnou se ve středu S, který je totožný s bodem C původního trojúhelníku. Tím jsem získala tři stejné trojúhelníky, jejichž základnou je vždy jedna ze stran a společný vrchol S (C).Napsala jsem to srozumitelně?

Ty ksichtíky jsem tam nedávala. Co to je?

Je to naprosto srozumitelné, a k řešení to docela dobře lze použít. Nevím sice, jak moc to souvisí právě e tím, že ten velký trojúhelník je trojnásobek původního (ale ono všechno souvisí se vším), ale mohu postupovat tak, že nejdřív spočtu výšku toho nového trojúhelníka (na to je vzorec, který vyplývá z Pythagora - sic!)a pak si uvědomím, že ta výška je v tomto příbadě zároveň těžnice a bod C ji tedy dělí v poměru 1:2 (leží v jedné třetině od základny).

Jo a ty smajlíky někdy vzniknou ze závorky, když se nějak nešťastně nebo šťastně slepí s něčím před ni: . ) schválně to dám dohromady, co vznikne

Přesně jak jsem čekal.

Tak to jsem ráda. Hledala jsem řešení bez použití goniometrických funkcí. Matematika je stejně krásná a deskriptiva ještě krásnější.)