Ahoj, potřeboval bych poradit. Mám trojrozměrný integrál obecné funkce a mám v něm zaměnit pořadí integrace. Vzhledem k tomu, že tento předmět mám jako samostudium, tak nemám vůbec páru, jak na to. Nemohli byste prosím nakopnout, dát sem nějaký vzor a podobně? Schválně tu nechci dát ten svůj, chci si jej spočítat sám, ale byl bych rád za nějaký příklad.
0x
U vícerozměrného integrálu nepůjde o záměnu integračních mezí, ale o záměnu pořadí, v němž se integruje. To asi víte, ten předmět, který používáte, je asi jen špatně zvolený. Ono není divu, koneckonců se i při takovém postupu stanovují integrační meze, které jsou samozřejmě různé podle toho, podle čeho se integruje, ale pod vazbou "záměna intergračních mezí" bych spíše vitěl záměnu horní meze za dolní a dolní za horní, při současné změně znaménka.
Pokusím se dát nějaký příklad, ale ono se to těžko píše s možnostmi tohoto editoru, takže zkusím spíš něco napsat a nascanovat. Můžete zatím napsat, co víte? Znáte třeba rozdíl mezi dvojným a dvojnásobným integrálem nebo nějakou větu, která se toho týká? To abych věděl, co mohu předpokládat a co musím uvést.
Jo sorry za špatný předmět. Co se týče Fubiniových vět, tak jsem se s nimi už setkal, spíš si říkám, že tohle chce hodně představivosti, protože i když jsem si to nakreslil na papír, tak to z toho nedokáži určit, přestože tam ty meze jsou, tak mi to prostě nějak nepálí). Asi si teď o vánocích vzal dovolenou i můj mozek. Jinak děkuji za jakoukoliv radu.
Představivost určitě pomůže, je fakt, že u trojného integrálu je to dost náročné. Ale pomůže i výpočet. Zkuste se podívat i sem: cs.wikipedia.org/... (F. větu znáte, ale stejně vám to může pomoci), přiložím též nějaký scan, ale je to narychlo a od ruky. No uvidíte, když tak se ještě ozvěta.
doplněno 30.12.10 19:08:nějak jsem pokazil vkládání, zkusím znovu
Mohl byste prosím ten obrázek hodit v lepším rozlišení (i přes můj relativně dobrý zrak to nedokáži přelouskat). Jinak moc děkuji.
Obávám se, že to bude problém daný omezením obrázků na poradně. Ale skusím ho rozdělit na dva obrázky, ale ne hned. Prosím vydržte.
Nechci tady dávat ten svůj příklad. Jde mi o to, že ty meze, jsou ohraničeny válcem, části paraboly a rovinou. Fubiniova věta je v podstatě jednoduchá (neříkám, že ji zas tak moc rozumím, ale nemůžu se hnout právě s těmi mezemi). Například bud mít:
0<=x<=1
-x<=y<=x
Jak mám zaměnit x za y? Fakt mi to nemyslí, určitě je to lehčí, než to vypadá, ale prostě nevím.
Asi to nebude parabola, ale nějaká parabolická plocha, ale to není v tomto okamžiku tak důležité. Asi chápu, co vám dělá problém, Ve vašem příkladě ilustračním jde o dvojný integrál přes množinu, popsanou vztahy, které uvádíte, a zapsán by byl (místo integřítka napíšu velké S)
I = SS(přes M) f/x,y) dxdy.
Podle F. věty ho lze zapsat ve dveru dvojnásobného integrálu
S(x od 0 do 1) (S (y od -x do x)F(x,y) dy)dx
Vám jde asi o to, jak ho zapsat (tedy v jakých mezích) s inegrací v opačném pořadí, tedy
S(S F(x,y) dx)dy
meze neuvádím, protože o ty jde. Tady byste je asi odečetl z obrázku, přeci jenom v rovině je to jednodušší, ale jde to i přes nerovnosti. Když y jde od -x do x a x je maximálně 1, tak maximální rozsah pro x je od -1 do 1, to budou meze vnějšího integrálu. Uvnitř integrujete při pevném y podle x v takových mezích aby [x,y] leželo v té množině. To x musí být nezáporné a nejvýš 1, a splňovat nerovnosti
x>=y
x>-y.
´Takže bude záviset na tom, zda je y kladné (nezáporné) či záporné, a vnější integrál musíme rozdělit na dva: pro y kladné tedy v mezích od nuly do +1, a tam bydou meze vnítřního integrálu:od y do jedné,
a pro y <=0tedy v mezích od -1 do 0, uvnitř budou meze pro x od -1 do nuly.
Připojuji ještě ten původní příklad ve třech částech.
V tom dvourozměrném případě, určitě pomůže si tu oblast přes kterou se integruje nakreslit. V zadání je nezávislé x a mění se y. Jde o to aby bylo nezávislé y a měnilo se x aby bylo možné provést záměnu integrace v tomto případě to je -1<=y<=1 a |y|<=x<=1 (|y|
je absolutní hodnota). Takze pokud puvodni integral vypada nejak jako int_(x=0)^(x=1) [ int_(y=-x)^(y=x) f(x,y) dy ] dx tak se da prepsat jako int_(y=-1)^(y=1) [ int_(x=|y|)^(x=1) f(x,y) dx ] dy. (kdyz f(x,y)=1, tj. počítáme plochu oblasti (zde trojuhenika)
dostaneme 1, pro uplnost pri integraci abs. hodnoty se to standardne rozsekne na dva integraly jeden od -1 do 0 a druhy 0 do 1).
V pripade toho trojmneho integralu s valcem se pouzije transformace do valcovych souradnic, tj. x=r.cos fi; y=r.sin fi, z=z, s tim ze pak ten integral je v mezich r=0 .. polomer podstavy valce, fi =0 .. 2pi, z=0 do g(r,fi) kde ta fce g vypada podle toho jak je presne zadany ten paraboloid. Transformaci se to prevede na trojnasobny ingral, v integrandu nezapomenout na pridani Jakobianu transformace r, tj. integrovat f(x=r.cos fi, y=r.sin fi, z=z) . r
Problém je v tom, že už mám těch blbých (promiňte to slovo 
, ale mám na jazyku daleko horší) válcových souřadnic, už mě z nich bolí hlava, ale ano, vypadá to, že tudy povede cesta (i když mám toho plné zuby). Jinak děkuji moc za odpověď. Pouštím se do toho (ale nejradši bych to hodil do koše ).
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.