Nerovnice s absolutní hodnotou

Jestli ti vadí absolutní hodnoty, tak to se dělá tak, že je odstraníš.

1a/ když bude x-1 >=0 (tedy x >= 1), platí /x-1/ = x-1. No a pro tato x si rovnici přepíšeš a vyřešíš:

x-1+1 >= 2x

0 >=je větší nebo rovno x

První řešení má být x, které je menší než nula a přitom větší než 1, tedy takové neexistuje, jde o prázdnou množinu

1b/ když bude x-1 <= 0 (tedy x<=1), platí pro zápornou hodnotu ze které děláš absolutní hodnotu /x-1/ = 1-x. No a toto dosadíš opět do původní rovnice, tedy

1-x+1 >=2x

2>=3x

x<=2/3

Druhé řešení pro x<=1 a současně x<=2/3 jsou x od -nekonečna do 2/3. To je i společné řešení 1a a 1b.

Dám sem řešení večer.

Dám sem zatím odkaz na jeden soubor:

vzdelani.sso.cz/...

1. příklad

/ x-1/ +1 je větší nebo rovno 2x

---------------------

"Vnitřek" absolutní hodnoty dát rovno 0.

x - 1 = 0

x = 1

Výsledek je 1, takže tím vznikly dva intervaly

(- nekonečno ; 1>

<1 ; nekonečno)

Spočítat to pro jeden interval a pak pro druhý interval

--

a) Pro interval (- nekonečno ; 1>

Když nějaké číslo z toho intervalu (např. 0) dosadím do výrazu x - 1

ta výsledek je záporný

Proto místo absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz, ale s opačnými znamínky

- x + 1 + 1 ≥ 2x

- 3x ≥ - 2

3x ≤ 2

x ≤ 2/3

Udělám průnik tohoto intervalu ( - nekonečno ; 2/3) s intervalem (- nekonečno ; 1>

Výsledný interval řešení a) je ( - nekonečno ; 2/3)

--

b) Pro interval <1 ; nekonečno)

Když nějaké číslo z toho intervalu (např. 2) dosadím do výrazu x - 1

ta výsledek je kladný

Proto místo absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz (se stejnými znamínky)

x - 1 + 1 ≥ 2x

- x ≥ 0

x ≤ 0

Udělám průnik tohoto intervalu ( - nekonečno ; 0) s intervalem <1 ; nekonečno)

Výsledný interval řešení b) je prázdná množina

--

Řešením příkladu je:

P = ( - nekonečno ; 2/3)

2. příklad

/ x-2/ je větší nebo rovno /x-2/

Při dosazení jakéhokoliv x platí, že :

/ x-2/ = /x-2/

Tedy řešení je:

P = R

R je množina všech reálných čísel

3. příklad

/x-1/ + x je větší než 1

---------------------

"Vnitřek" absolutní hodnoty dát rovno 0.

x - 1 = 0

x = 1

Výsledek je 1, takže tím vznikly dva intervaly

(- nekonečno ; 1>

<1 ; nekonečno)

Spočítat to pro jeden interval a pak pro druhý interval

--

a) Pro interval (- nekonečno ; 1>

Když nějaké číslo z toho intervalu (např. 0) dosadím do výrazu x - 1

ta výsledek je záporný

Proto místo absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz, ale s opačnými znamínky

- x + 1 + x > 1

1 > 1

Tato rovnost není platná, takže řešením a) je prázdná množina

--

b) Pro interval <1 ; nekonečno)

Když nějaké číslo z toho intervalu (např. 2) dosadím do výrazu x - 1

ta výsledek je kladný

Proto místo absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz (se stejnými znamínky)

x - 1 + x > 1

2x > 2

x > 1

Udělám průnik tohoto intervalu ( 1 ; nekonečno) s intervalem <1 ; nekonečno)

Tedy řešením b) je interval (1 ; nekonečno)

--

Řešením příkladu je:

P = (1 ; nekonečno)

4. příklad

příklad /2x+3/ + /3x-1/ je větší nebo rovno x

V zadání jsou dvě absolutní hodnoty, takže výpočet je pro tři intervaly (počet intervalů je o jeden víc, než je počet absolutních hodot), tedy a),b),c)
---------------------

"Vnitřky" absolutních hodnot dát rovno 0.

První absolutní hodnota:

2x + 3 = 0

x = - 3/2

Druhá absolutní hodnota:

3x - 1 = 0

x = 1/3

Výsledky jsou - 3/2 ; 1/3, takže tím vznikly tři intervaly

(- nekonečno ; - 3/2)

(- 3/2 ; 1/3)

( 1/3 ; nekonečno)

--

a)

Pro interval (- nekonečno ; - 3/2)

Když nějaké číslo z toho intervalu (např. -2) dosadím do výrazu 2x + 3 , tak výsledek je záporný

Proto místo první absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz, ale s opačnými znamínky

Když nějaké číslo z toho intervalu (např. -2) dosadím do výrazu 3x - 1 , tak výsledek je taky záporný

Proto i místo druhé absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz, ale s opačnými znamínky

- 2x - 3 - 3x + 1 ≥ x

- 5x - 2 ≥ x

- 6x ≥ 2

x ≤ - 1/3

Udělám průnik tohoto intervalu ( - nekonečno ; - 1/3 ) s intervalem (- nekonečno ; - 3/2)

Výsledný interval řešení a) je ( - nekonečno ; - 3/2)

----

b)

Pro interval (- 3/2 ; 1/3)

Když nějaké číslo z toho intervalu (např. 0) dosadím do výrazu 2x + 3 , tak výsledek je kladný

Proto místo první absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz

Když nějaké číslo z toho intervalu (např. 0) dosadím do výrazu 3x - 1 , tak výsledek je záporný

Proto i místo druhé absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz, ale s opačnými znamínky

2x + 3 - 3x + 1 ≥ x

- 2x ≥ - 4

x ≤ 2

Udělám průnik tohoto intervalu ( - nekonečno ; 2 ) s intervalem (- 3/2 ; 1/3)

Výsledný interval řešení b) je ( -3/2 ; 1/3)

----

c)

Pro interval ( 1/3 ; nekonečno)

Když nějaké číslo z toho intervalu (např. 1) dosadím do výrazu 2x + 3 , tak výsledek je kladný

Proto místo první absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz.

Když nějaké číslo z toho intervalu (např.1) dosadím do výrazu 3x - 1 , tak výsledek je kladný

Proto i místo druhé absolutní hodnoty do nerovnice dosadím daný výraz

2x + 3 + 3x - 1 ≥ x

5x + 2 ≥ x

4x ≥ - 2

x ≥ - 1/2

Udělám průnik tohoto intervalu (- 1/2 ; nekonečno ) s intervalem ( 1/3 ; nekonečno)

Výsledný interval řešení c) je ( 1/3 ; nekonečno)

----

Dosadím do nerovnice body

- 3/2 ; 1/3

Pro - 3/2 nerovnice je platná

Pro 1/3 nerovnice je platná

Řešením příkladu je:

P = ( - nekonečno ; - 3/2) u ( -3/2 ; 1/3) u ( 1/3 ; nekonečno) u {-3/2} u {1/3}

P = R

u je značka pro sjednocení intervalů