Povrch a objem čtyřstěnu

V čem je problém? Spočítáš si rozměr jedný plochy (a krát a), výsledek vynásobíš počtem ploch a máš povrch.
Pak si spočítáš plochu podstavy a vynásobíš to výškou...

Zdravím. Určitě není problém vyhledat, že jeho povrch S=a²*√3 a objem V=a³*(√2)/12...

Zdravím. Tak tedy jak na povrch pravidelného čtyřstěnu: Jeho povrch tvoří čtyři shodné rovnostranné trojúhelníky (se stranou a). Obsah jednoho z nich: S=a*v/2. Výšku lze spočítat Pythagorovou větou jako odvěsnu pravoúhlého trojúhelníka, jehož přeponou je strana a a odvěsnou polovina strany a (tento trojúhelník je polovina onoho rovnostranného trojúhelníka). v²=a²-(a/2)², z toho v²=(3/4)*a² a potom v=(a/2)*√3. Takže po dosazení do vzorce pro obsah trojúhelníka: S=a*(a/2)*√3/2=(a²/4)* √3. Pro povrch tohoto čtyřstěnu (4 takové trojúhelníky) je to krát čtyři, tedy a²*√3...

Zdravím. A jak odvodit vzorec pro objem pravidelného čtyřstěnu: Vzorec pro objem jehlanu je V=(1/3)(S_p*v_t), tj. obsah podstavy krát tělesová výška a děleno třemi. S_p=(a²/4)*√3 (to je obsah rovnostranného trojúhelníka se stranou a – viz v odvození vzorce pro povrch čtyřstěnu). Patou tělesové výšky (v_t) je těžiště T podstavy (rovnostranného trojúhelníka). Těžiště leží na těžnici 2/3 od vrcholu tohoto trojúhelníka (a 1/3 od středu strany; těžnice trojúhelníka je úsečka, jejíž krajní body jsou vrchol trojúhelníka a střed protější strany). Těžnice v rovnostranném trojúhelníku je totožná s příslušnou výškou (např. t_a=v_a). Tělesovou výšku v_t lze spočítat Pythagorovou větou jako odvěsnu pravoúhlého trojúhelníka, jehož přeponou je a a druhou odvěsnou dvě třetiny těžnice, tedy stěnové výšky (celá výška je (a*√3)/2): v_t²=a²-(a*√3/3)², po zjednodušení v_t²=(2/3)*a², po odmocnění: v_t=a*(√2)/√3. Pokud tento zlomek rozšíříme výrazem √3, vznikne (a*√6)/3. Po dosazení do vzorce pro objem: V=(1/3)(a²/4)*(√3)*(a*√6)/3 a zjednodušení tohoto výrazu vznikne výraz a³*(√2)/12 a to je ten vzorec pro objem pravidelného čtyřstěnu....