Pan Vlk čekal na zastávce před školou na autobus. Z okna slyšel slova učitele: ,,Jaký povrch může mít pravidelný čtyřboký hranol, víte-li, že délky všech jeho hran jsou v centimetrech vyjádřeny celými čísly a že jeho objem je.." Toto důležité číslo pan Vlk neslyšel, protože zrovna projelo okolo auto. Za chvíli slyšel žáka hlásícího výsledek 918cm čtverečních. Učitel na to řekl: ,, Ano, ale úloha má ještě 4 řešení. Hledejte dál." Více se pan Vlk nedozvěděl, neboť nastoupil do svého autobusu.Protože Matika byla vždy jeho hobby, vytáhl si v autobuse tužku a papír a po čase určil zbylá tři řešení úlohy. Spočítejte je i vy.
Prosím o výpočet i poslup řešení této slovní ulohy, pokud možno podrobně. pokud máte rádi matematiku ale i když ne prosíím pomozte mi ...
2x
Jsem si jist že příklad je špatně napsán, nebo se pan učitel spletl.
Pokud se nemýlím já tak měl říci "Úloha má čtyři řešení" a nikoliv ještě což by bylo pět.
Objem toho hranolu by mohl být 229, 675, 1445 nebo 1701
U objemu 229 lze stanovit že a=1 a b=229 pak plocha hranolu bude 918 a to je vše
Ovšem u jednoho objemu mohou být vypočteny 2 různé plochy, u jednoho 3 a u jednoho 4 různé plochy.
doplněno 12.12.10 02:45:Malá pomůcka
Sub procedura()
Dim a1, a2, j, k As Integer
Dim b1, b2, O, P, NO, NP, PO As Double
PO = 918
For j = 1 To 22
a1 = j
b1 = (PO - (2 * a1 * a1)) / (4 * a1)
If b1 = Int(b1) Then
P = (2 * a1 * a1) + (4 * a1 * b1)
O = a1 * a1 * b1
For k = 1 To 1000
a2 = k
b2 = O / (a2 * a2)
If b2 = Int(b2) Then
NO = a2 * a2 * b2
NP = (2 * a2 * a2) + (4 * a2 * b2)
MsgBox "Při ploše = " & NP & " a objemu = " & NO & " je rozměr a = " & a2 & " a rozměr b = " & b2
End If
Next k
End If
Next j
End Sub
0x
Není to zase tak těžké. Ale podrobné řešení sem (aspoň zatím) nenapíšu, začnu návodem.
Označím-li a, b hrany hranolu (a bude strana čtvercové základny), vidím, že povrch hranolu je 2a^2 + 4ab = 2a(a+2b) . Teď a, b jsou celé čísla a tedy 2a. a+2b jsou dělitelé čísla 918, takže je snadno zjistím. Vypočtu objem hranolu a protože ten je roven (a^2)b, tak zase vypočtu ta další a, b pomocí rozkladu (nyní již známého nám) objemu.
To je schéma, ale zajímavé ještě bude, jak se využije toho, že existuje celkem pět řešení, případně toho, že žáci znají obsah předem. To jsem do konce nepočítal, ale nemělo by to být těžké. Tak zatím takhle.
Prosím Vás, soudím správě, že ^ zamená násobení?
Chci se zeptat je to rovnice o více nezámých? POkud ano prosím o rozepsání jednotlivé, protože ty jjjsem se ve škole ješte neučil.
Moc Vám děkuji za čas a snahu!
Proboha snad víš jak se spočte plocha hranolu. Pak Ti musí dojít že se jedná o znak mocnění
základna = a * a = a^2
No rovnice o více neznámých... vlastně ano, svým způsobem; základní rovnice, se kterou začínáme, je 2a(a+2b) = 918, po zkrácení a(a+2b) = 459, ale je tam podmínka, že neznámé a, b jsou celá čísla. Pokud chceš k tomu formální názvosloví, takovým rovnicím se říká diofantské, ale tahle navíc není lineární a určitě jste je nebrali a brát nebudete. Takže zapomeň (aspoň v tomto okamžiku) na rovnice; vlastně je to úloha na rozklad na prvočísla. Prostě číslo 459 (pomocí rozkladu na prvočísla) napíšeš jako součin dvou celých čísel (to jde různě, například 459 = 9*51) a pak položíš v tomto případě a = 9, (a+2b) = 51. Pravda, tohle je vlastně systém dvou lineárních rovnic o dvou neznámých a, b, ale zase se tím nemusíš vzrušovat. První rovnice vlastně ani není rovnice, ale už rovnou výsledek (a=9). ta druhá už je rovnice, ale, po dosazení za a, už jen s jednou neznámou b (9+2b= 51), a to jistě umíš.
Další výpočty uvedl dost podrobně Jirbar, i s tím využitím nejednoznačnosti řešení.
(Možná se zeptáš, proč jsem nepoložil třeba a = 51, a + 2b = 9. 4istě teoreticky by to možné bylo, ale a, b jsou délky hran a jsou tedy kladné, takže a+2b musí být větší než a. )
doplněno 12.12.10 14:35:Jinak Jirbarův předpoklad, že zadání je špatně, potvrzuje krom výsledku i to, že o něco níže pan Vlk vypočítal zbylá TŘI řešení. Prostě slůvko "ještě" je v zadání navíc.
Diofantské rovnice mne vždy zajímaly, když v v mnoha rovnicích o dvouch neznámých v oboru celých přirozených čísel existuje konečný počet řešení, přesto jsem na "princip" jejich řešení nikdy nikde nenarazil.
A když již bych náhodou potřeboval něco spočítat, tak definovat malý cyklus a vyhodnotit kdy x=int(x) je již to nejjednodušší.
Pro neznalé hledám takové vypočtené "x" kdy se to "x" rovná témuž "x", ale bez desetinných míst. A to je právě jen tehdy kdy "x" je celé číslo.
Nějaký univerzální postup pro obecnou Diofantickou rovnici neexistuje, ostatně se to ani nedá očekávat, jejich škála je příliš rozmanitá. Vcelku dobře se dá řešit D. rovnice pro dvě neznámé typu ax + by = c, kde a,b,c jsou celé čísla, x,y, celočíselné neznámé. Taková rovnice ovšem buď nemá žádné (celočíselné) řešení (to když největší společný dělitel čísel a, b není zároveň dělitelem čísla c; to je celkem jasné) nebo jich má nekonečně mnoho. Postup uvádí teorie čísel, je vcelku jednoduchý a najde se leckde. Víceméně využívá Euklidova algoritmu pro hledání největšího společného dělitele, ale podrobnosti myslím nepatří do tohoto vlákna. Když tak mohu něco napsat vnitřní poštou.
0x
Matematická olympiáda Z-9, nepletu-li se, první příklad.
Tato úloha je ve své podstatě dosti primitivní. Stačí si uvědomit, co máš vlastně počítat. V zadání je napsaný pravidelný čtyřboký hranol. Co to vlastně je? Je to kvádr, u kterého a=b. Dále máš zadaný povrch (A), který je 918 cm*cm a byl zadán objem (V), který ale neznáme. Z tohoto vyplývá, že máš spočítat zbylé obsahy pro JEDEN OBJEM. Vzoreček pro výpočet obsahu je A=2*(ab+bc+ca), což se dá u p.č.h. zapsat také jako A=2*(a*a+2*a*c). Vzoreček pro objem je V=a*b*c, což tady znamená V=a*a*c. Ze vzorečku pro V si postupně vyjádříš "a" a "c" a dosadíš to do vzorečku pro obsah. Toto budeš zjednodušovat až ti vyjdou 4 čísla (já už jsem to počítal). U těchto čísel musíš vyzkoušet, u kterého, ti vyjdou 4 A.
Jednak jsi na špatné stopě, ale dvak to nemůže být dobře. Pokud je (S) to, co myslím, tedy povrch kvádru, tak je v kvadrátních centimetrech, a obsah V je v kubických centimetrech. Mám pocit, že jsi ve vztahu S = 2a² + 4ab vynásobil pravou stranu a a levou jsi nechal být. Jinak metodu postupu máš několikrát popsanou, tak snad ještě jednou a snad zase trochu jinak:
označím a délku strany (čtvercové) základny, b délku boční krany, S povrch, V objem.
Je S = 2a² + 4ab = 2a(a+2b), V = a² b, vím, že a,b sou celá čísla. Zadání je, určit, jaké může být S, a dozvěděl jsem se, že jedno řešení je S = 918 [cm²] . Také vím, že i když V neznám (pan Vlk ho nezaslechl), žáci ho znají.
1. Vyjdu ze vztahu S = 918 = 2a(a+2b), po zkrácení dvěma 458 = a(a+2b). Číslo 458 zapíšu jako součin dvou celých kladných čísel a jedno z nich položím rovno a, druhé položím rovno výrazu (a+2b). To jde růzými způsoby, pro každý způsob dostanu jiné a, b a následně jiné V. Jen jeden způsob je správně; žáci vědí, který, protože znají správné V, já to nevím a tak musím vyzkoušet všechny možnosti.
2. Pro každé z možných V budu hledat další možnosti pro a, b a následné(což je cílem) pro S.
Vím, že V= a² b, takže zase rozložím V na součin, tentokrát ale první ze součinitelů musí být kvadrát. Položím a² rovnou tomu kvadrátu, odmocním a dostal jsem a; b bude rovno tomu druhému součiniteli, a z takto získaných a, b spočtu S. Takový rozklad je obecně možný více způsoby, podle toho, kolik je V (více způsoby může eventuálně znamenat jedním). No a správné V je to, pro které jsou ty způsoby právě čtyři. Stačí?
Vždyť máš posaný algoritmus. A dokonce těch "a" můžeš zkusit jenom 22 a z toho se 4x chytneš na celé "b".
Potom z "a" a "b" si vypočteš objem a zkusíš zda při stejném objemu by zase mohlo být jiné "a" a "b" pro různou plochu. A ani jich nemusíš zkoušet uvedených 1000.
No a dojdeš k výsledku, že pouze jediný objem umožní taková různá "a" a "b" že z nich vyjdou 4 různé plochy. A máš hotovo.
Pokud se ale opravdu chceš zúčastnit matematické olympiády tak to vzdej.
Vzpomínám, že jsem ji taky dělal a byl jsem poslední. Lépe řečeno poslední úspěšný to jest sedmej z asi třiceti.
Ještě mám schovanou knihu s věnováním. Teda s matematikou neměla nic společného. Je o tom jak kuchat žáby. To vždycky dávali co bylo neprodejné.
doplněno 12.12.10 16:22:Jak jsem tak koukal tak těch "pokus" v obouch případech stačí udělat jenon 17.
Děkuji, ale algoritmus znám jenom z doslechu a vůbnec nevím o co v něm jde tak se omlouvám
Z jakého doslechu? V tomto vlákně ho máš popsán několikrát a v různě podrobných podobách. Nebo neznáš slovo "algoritmus"?
doplněno 12.12.10 17:38:Jestli máš na mysli Euklidův algoritmus, o kterém tu píši, toho si nevšímej. To byla poznámka pro Jirbara a tvého problému se netýká. Zkus použít popsané postupy, napiš je sem a podíváme se na ně. Pro začátek bys mohl opravit tu chybu, na kterou tě upozorňuji
Co je algoritmus. To je krok po kroku. Ano máš to několikrát popsáno. Tak makej krok po kroku.
I každodenní stávání a cesta do školy to je taky algoritmus.
A na ten příklad žádnou rovnici nevymyslíš. Jedině metodou pokus, pokus. Pochopitelně některý pokus můžeš předem vyloučit, protože již předem je známo, že nepovode ke kýženému cíli. V tom je ta logika.
Prostě "a" i "b" musí být celé číslo a navíc větší než nula.
Tohle je především zase špatně. Nesouhlasí rozměrová kontrola. Proř se nedržíš toho, co je správně a co je tu už několikrát napsáno, totiž
S = 2a^2 + 4ab,
kde S je povrch, a b jsou hrany, a to tak, že a je strana čtvercové základny a b je boční hrana.
Z toho vycházej. Nebo tomu nevěříš či nerozumíš? A jinak: co jste se ještě neučili, takže do toho nemůžeš dosadit? Když to upřesníš, můžeme si to vyjasnit. Učili jste se rozklad čísla na součin prvočísel, a co je to hranol, jeho objem a povrch? Nic jiného v podstatě není třeba.
doplněno 13.12.10 09:25:Tedy upřesnění: .napiš ještě, co jednotlivá písmena znamenají. Pokud je V objem, je to zcela špatně, pokud je to výška a a je strana základny, je to špatné vytčení. Ovšem rozměry nesouhlasí v žádném případě.
Až bude vzorec v pořádku, můžeme pokračovat.
Jo a slovo algoritmus se dá česky víceméně nahradit taky slovem postup. (trochu zjednodušeně řečeno).
0x
No dobře, tak to zkusme.
Co víme:
1. studenti znají objem V kvádru (se čtvercovou základnou o straně a a s boční hranou (výškou) velikosti b, ovšem hodnoty a, b neznaj). Jejich úlohou je, najit všechny možné povrchy S takovýchto hranolů s pomínkou, že a,b jsou (v centimetrech) vyjádřeny celými (a samozřejmě kladnými) čísly.
2. Pan Vlk ví, že studenti znají hodnotu V, ale on sám ji nezná. Dále ví, že jedno řešení zadané úlohu je S = 918 cm² a také ví (což teď už vědí i studenti), že úloha, zjistit k danému objemu V možné povrchy, má celkem 4 celočíselná řešení (ovšem, znovu podtrhuji, sám hodnotu V nezná. Přeto se mu podaří na základě těchto údajů úlihu vyřešit.
Vydejme se tedy po stopách pana Vlka. Pro něj má úloha dvě části:
(i) Najít k danému S možné V. Tato úloha ovšem bude mít více řešení, a výběr mezi nimi musí pan Vlk učinit na základě druhé části a dodatečného údaje, že úloha pro studenty má čtyři řešení
(ii) V druhém kroku pan Vlk řeší úlohu stejnou, jako studenti, totiž k danému V najít všechna možná S. Bohužel, má k dispasici více než jedno možné V, I nezbyde mu, než vyřešit tu úlohu pro všehna možná V. To "studentské" bude to, pro které má úloha právě čtyři řešení.
Odesílám tuto část a vlastní řešení dám do dolších odpovědí.
Řešení části (i):
Vzorec pro povrch je
S = 2a² + 4ab (dvě čtvercové základny plus čtyřikrát boční stěna), po vytčení 2a to bude
S = 2a(a + 2b)
Vzorec pro objem je
V =a²b
Známe S = 918, potřebujem zjiztit V. K tomu stačí zjistit (celočíselná) a, b a dosadit do vzorce pro V. Postup (algoritmus):
Zapíšme
2a(a + 2b) = 918, a(a + 2b) = 459
(Další krok- potřebujeme zapsat 259 jako součin dvou celých čísel. Nejprve ho rozložíme na prvočísla):
459 = 1*3*3*3*17
Vidíme tyto možné rozklady na součin dvou celých čísel:
459 = 1*459
459 =3*153
459 =9*51
459= 27*17
Pro každou z možností položíme a rovno menšímu z obou součinitelů. (a+2b) většímu, spočteme a a b a následné V:
459 = 1*459, a = 1, 459 =(1+2b), b= (459-1)/2 = 229, V = 229
===========================================
459 =3*153, a = 3, b = 456/2 = 228, V = 5052
atd. DAlší si vyřeš, ale dřív prosím zkontroluj mé výpočty, dělal jsem je částečně zpaměti a nesouhlasí s Jirbarem. Teď už ale nemám čas to kontrolovat.
Tady 459 =3*153, a = 3, b = 456/2 = 228, V = 5052
musí být b=75 potom P= 2*3*3 +4*3*75 = 918 a V=675
doplněno 13.12.10 16:43:Jistě to takhle dotáhne do konce, až získá 4 možné objemy a tyto opětovně začne rozkládat na zcela jiná "a" a "b" z kterýchžto mohl vypočtený objem vzniknout.
No a když u jednoho z těch objemů zjistí, že jsou 4 možné kombinace pro výpočet povrchu hranolu tak je u cíle.( u ostatních objemů to bude méně)
Brnkačka.
To je ono. Já všdšl, že tam mám chybu, ale už jsem musel odběhnout. Takže správně je Jirbar, tedy nikoliv b = (459-3)/2, ale (153-3)/2 = 75. Děkuji.
Tak nějak si začínám všímat, že úlohu řešíme my místo "tomaskapucka". No ale třeba už má vyřešeno, jen nám to nesdělil.
Zvonku to ozaj tak vyzerá. Ale doufám, že bod ii z posledního návodu už doplní, je to téměř stejné. Pokud tey není háček v tom "téměř", ale snad ne.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.