Matematické důkazy - pomoc!

Zdravím,

můžu to poslat postupně - asi zítra.

Tady jsou odkazy na soubory, kde je důkaz platnosti pythagorovi věty:

home.pf.jcu.cz/...

realisticky.cz/...

Př. 7)

Lze dokázat umocněním.

Levá strana nerovnice je umocněna dle vzorce (A + B)² = A² + 2.A.B + B²

Př. 8)

V pěti bezprostředně po sobě následujících přirozených číslech je :

- právě jedno z těchto čísel dělitelné 5

- minimálně jedno z těchto čísel dělitelné 4 a další číslo dělitelné 2.

- minimálně jedno z těchto čísel dělitelné 3.

2 . 3 . 4 . 5 = 120

10. Nápověda: Trojciferé číslo zapsané číslicemi abc rozepíšeme jako 100a + 10b + c.

11. Nápověda: Sousední lichá čísla jsou (2n + 1) a (2n – 1).

Několik dalších důkazů: priklady.eu/...

Př. 11)

Jedno liché číslo je 2k + 1

Druhé liché číslo je 2k - 1

k je libovolné přirozené číslo.

(2k + 1)² - (2k - 1)² = 4k² + 4k + 1 - ( 4k² - 4k + 1) = 4k² + 4k + 1 - 4k² + 4k - 1 = 8k

Př. 12a)

n⁴ - n² = (n² + n) krát (n² - n) = n krát (n + 1) krát n krát (n - 1)

Buď jsou sudá čísla (n+1) a (n - 1), nebo je sudé číslo n

12b)

n⁵ - n³ = n³ krát (n² - 1) = n³ krát (n + 1) krát ( n - 1)

Je li n sudé číslo, tak (n+1) a (n - 1) jsou lichá čísla.

Je li n liché číslo, tak (n+1) a (n - 1) jsou sudá čísla.

Jedno z čísel n -1 , n , n + 1 je dělitelné 3.

Př. 4)

k je libovolné přirozené číslo dělitelné třemi

k+1 je přirozené číslo, které není dělitelné třemi (tedy zbytek po dělení tohoto čísla třemi je 1)

k+2 je přirozené číslo, které není dělitelné třemi (tedy zbytek po dělení tohoto čísla třemi je 2)

(k+1)² = k² + 2k + 1

Tedy zbytek druhé mocniny po vydělení třemi je 1

(k+2)² = k² +4k + 4 = k² +4k + 3 + 1

Tedy zbytek druhé mocniny po vydělení třemi je 1

Není li nějaké číslo dělitelné třemi, tak není dělitelné ani devíti.

Př. 3)

k je libovolné přirozené číslo

b = k . a

b² = k² . a²

Př. 6)

k je libovolné přirozené číslo

Je li n² dělitelné třemi tak:

n² = 3k . 3k

n = 3k

Př. 10)

x,y,z jsou cifry daného čísla (zleva doprava)

C₁ je původní číslo

C₁ = 100 . x + 10 . y + z

C₂ je číslo po odečtení

C₂ = 96 . x + 8 . y

C₂ = 8 . (12 . x + y)

Př. 1)

Kdybychom kdekoliv v ploše vytvořili kolmici na přímky a,b,c , tak by na dané kolmici vznikly průsečíky s danými přímkami P_a , P_b , P_c

Na kterékoliv kolmici platí součet vzdáleností:

/P_a P_c/ = /P_a P_b/ + /P_b P_c/

Př. 2)

Tady je odkaz na soubor, kde je důkaz thaletovy věty

matematika8.wz.cz/...