Hledáme přirozené číslo

Nejmenší číslo s touto vlastností je číslo 105263157894736842.

Chceš to i s postupem?

No a teď ten postup.
Nechť teda existuje číslo n, co má tuhle vlastnost. Pokud existuje, nějaké musí být nejmenší, tak rovnou předpokládáme, že je to ono. Představíme si, jak se zapíše. Bude tam nějaké množství cifer a jedna poslední. Označme si poslední cifru třeba y. Tu pak budeme házet na začátek. No a zbytek toho čísla bez té zapsané poslední cifry bude jiné číslo, označme si ho x.
Takže kdyby třeba n = 12359, tak x = 1325, y = 9, apod.
No takže v zápise bude n = <xy>. Těmi <> závorkami naznačuji, že se nejedná o rovnici, ale o zápis čísla v desítkové soustavě.
To znamená, že n = 10x + y. Když tu část bez poslední cifry vynásobím deseti, přibyde na konec nula, a k té nule pak přičtu tu poslední cifru a mám to, co jsem chtěl.
Teď je potřeba se zamyslet nad tím číslem x. Ono bude mít nějaký počet cifer, který neznáme. Označme počet cifer p.
My teď hodíme tu poslední cifru y na začátek. Takže dostaneme dvojnásobnou hodnotu původního čísla (podle zadání), která se tedy zapíše jako
2n = <yx>. No a kolik to je? Je to vlastně <y00000...000> + x, kde těch nul bude právě tolik, jak dlouhé je to číslo x. Tedy p nul. Takže to lze napsat jako
2n = <yx> = y*10^p + x.
A dosadíme za n = 10x+y. Dostaneme
2(10x+y) = y*10^p + x
20x + 2y = y*10^p + x
19x = y*10^p - 2y - tady vytknu na pravé straně 2y
19x = 2y(5*10^p-1 - 1) (půjčil jsem si desítku z mocniny)
x =
x = (2y*(5*10^p-1 - 1)) / 19
A protože x je taky celé číslo, tak čitatel zlomku, tedy 2y*(5*10^p-1 - 1), musí být dělitelný 19. To je prvočíslo, takže musí být 19 dělitelný přímo nějaký z činitelů 2,y nebo 5*10^p-1 - 1. Dvojka to nebude. y taky ne, to je poslední číslice, která určitě není nulová, a může být maximálně 9. Takže z toho vychází, že 19 dělí beze zbytku číslo 5*10^p-1 - 1, neboli 19 dělí číslo 5*10^p-1 se zbytkem 1.
Takže musíme najít takové p, aby 5*10^p-1 bylo dělitelné 19. Budeme postupně dosazovat za p, ale nebudeme to počítat celé, ale použijeme modulární aritmetiku. Cílem je mít po dělení 19 zbytek 1.
p=1: 5*10^p-1 = 5 - po dělení 19 zbytek 5
p=2: dostanu 10x větší číslo, takže po dělení 19 bude zbytek 5*10 = 50, ale to je de fakto 50-19-19 = 12 (kongruence)
p=3: zbytek bude 12*10 = 120, de facto 120-19-19-19-19-19-19 = 6.
p=4: zbytek bude 6*10 = 60, de facto 60-19-19-19 = 3
p=5: zbytek 30-19=11
p=6: zbytek 110-19-19-19-19-19 = 15
p=7: zbytek 150-19-19-19-19-19-19-19 = 17
p=8: zbytek 170-19-19-19-19-19-19-19-19 = 18
p=9: zbytek 180-19-19-19-19-19-19-19-19-19 = 9
p=10: zbytek 90-19-19-19-19 = 14
p=11: zbytek 140-19-19-19-19-19-19-19 = 7
p=12: zbytek 70-19-19-19 = 13
p=13: zbytek 130-19-19-19-19-19-19 = 16
p=14: zbytek 160-19-19-19-19-19-19-19-19 = 8
p=15: zbytek 80-19-19-19-19 = 4
p=16: zbytek 40-19-19 = 2
p=17: zbytek 20-19 = 1
To je to, co hledáme. Protože 19 je prvočíslo, bylo z teorie jasné, že časem proběhnou všechny možné zbytky a zbytek 1 tam bude.
Takže p = 17, tedy číslo x má 17 cifer a celé hledané číslo n má 18 cifer. My zároveň víme, že
x = (2y*(5*10^p-1 - 1)) / 19
takže se znalostí p=17
x = (2y*(5*10¹⁶ - 1)) / 19
Teď zbývá najít poslední číslici y. Určitě to nebude 0, to by nemohla stát na začátku nového čísla. Určitě to nebude 1, protože to by pak ten dvojnásobek nebyl dost velký (původní číslo by muselo mít o cifru méně). Zkusme hned první možnou volbu y = 2:
x = (4*(5*10¹⁶ - 1)) / 19 = (2*10¹⁷ - 4) / 19 = 199 999 999 999 999 996 / 19 = 10 526 315 789 473 684.
y = 2, takže n by mělo být 105 263 157 894 736 842. Musíme jen udělat zkoušku, zda je to opravdu řešení.
2n = 2* 105 263 157 894 736 842 = 210 526 315 789 473 684, vyšlo to, máme výsledek,
Poznámka: Toto funguje ve skutečnosti díky tomu, že 2*10-1 = 19 je prvočíslo a navíc zlomek 1/19 má tzv. úplnou délku periody, tedy že perioda desetinného rozvoje tohoto zlomku má maximální možnou délku 18 cifer (o jednu méně než je těch 19, proto taky prolétly všechny zbytky).
Když se totiž na tu odpověď n = 105263157894736842 podíváme pozorně, tak zjistíme, že jsou to převlečené 2/19 (respektive je to perioda tohoto zlomku).

Asi to jde vymyslet. Ale myslím, že mnohem rychlejší a jednodušší by bylo napsat prograámek na pět řádků který by to našel.

Možná lze, začít to řešit "prověřením" dvouciferných čísel.

a je zleva doprava první číslice nějakého dvouciferného čísla

b je zleva doprava druhá číslice toho dvouciferného čísla

2 krát (10a + b) = 10b + a

20a + 2b = 10b + a

19a = 8b

a = 8/19 b

Takové dvouciferné číslo neexistuje.

Dívám se, že Dominik sem dal nějaké řešení.

Zkouším si s tím "hrát" takto:

Když by nějaké takové číslo existovalo, tak lze napsat ve tvaru:

a c_n c_n-1 ... c₁ b

S je součet :

S = 10ⁿ krát c_n + 10^n-1 krát c_n-1 + ... + 10 krát c₁

2 krát (10ⁿ⁺¹ krát a + S + b ) = (10ⁿ⁺¹ krát b + S + a )

2 krát 10ⁿ⁺¹ krát a + 2S + b = 10ⁿ⁺¹ krát b + S + a

2 krát 10ⁿ⁺¹ krát a - a = 10ⁿ⁺¹ krát b - b - S / děleno 10ⁿ⁺¹

2a - a / 10ⁿ⁺¹ = b - b / 10ⁿ⁺¹ - S / 10ⁿ⁺¹

Z tohoto výrazu vytvořit "hypotézu", že b = 2a

OPRAVA:

2 krát (10ⁿ⁺¹ krát a + S + b ) = (10ⁿ⁺¹ krát b + 10ⁿ krát a + S/10 )

2 krát 10ⁿ⁺¹ krát a + 2S + 2b = 10ⁿ⁺¹ krát b + 10ⁿ krát a + S/10

2 krát 10ⁿ⁺¹ krát a - 10ⁿ krát a = 10ⁿ⁺¹ krát b - 2b - 1,9 S / děleno 10ⁿ

20 a - a = 10b - 2b/ 10ⁿ - 1,9 S / 10ⁿ

Při předpokladu, že b = 2a je rovnice takto:

20 a - a = 20a - 4a/ 10ⁿ - 1,9 S / 10ⁿ

a = 4a/ 10ⁿ + 1,9 S / 10ⁿ

10ⁿ⁺¹ krát a = 40a + 19S

10ⁿ⁺¹ krát a - 40a = 19S

(10ⁿ⁺¹ krát a - 40a) / 19 = S

S je celé číslo

tedy výraz 10ⁿ⁺¹ krát a - 40a je dělitelný 19

Po dosazení

a = 1

10ⁿ⁺¹ - 40 je dělitelné 19