Dobrý den, chtěla bych poprosit o vyřešení dvou slovních úloh na maximum a minimum.
1) Papír tvaru obdelníku má rozměry 60cm a 28cm. V rozích odstřihneme stejné čtverce a zbytek se ohne do tvaru krabice.Jak dlohá musí být strana odstřižených čtverců, aby byl objem co největší.
2) Hodláme koupit obdelníkovou arcelu o rozloze 200m², jejíchž jedna strana bude ohraničena již hotovou zdí, zatímco ze zbývajích tří stran bude potřeba parcelu oplotit. Určete délky stran tak, aby byly co nejmenší.
2x
Dobrý den,
v těchto úlohách je použito derivování
-------
1)
Zkusím to spočítat derivací kubické funkce.
Délka strany a odstřiženého čtverce je současně výška krabice h.
Vzorec pro objem krabice zadaných rozměrů je:
V = (60 - 2h) krát (28 - 2h) krát h
protože
60 - 2h je délka krabice
28 - 2h je šířka krabice
V = 1680h - 120h2 - 56h2 + 4h3
V = 4h3 - 176h2 + 1680h
Je to kubická funkce s definičním oborem intervalu <0;14> , protože h je větší nebo rovno 0 a současně menší nebo rovno 14. Samozřejmě prakticky je nesmysl, aby h = 14 nebo aby h = 0, protože při takových hodnotách by nebylo možné vytvořit krabici.
V případě kubických funkcí s D(f) = R jsou dva lokální extrémy.
V případě zadané funkce předpokládám jen jeden lokální extrém.
Danou funkci zderivuju
V` = 12h2 - 352h + 1680
Tuto derivaci dám rovnu 0
0 = 12h2 - 352h + 1680
Spočítám tuto kvadratickou rovnici
0 = 12h2 - 352h + 1680
D = 208
h1 = (352 - 208) : 24
h1 = 6
h2 = (352 + 208) : 24
h2 = 23,3
Tedy hodnota 23,3 není řešení.
Řešení je asi h = 6 cm, protože v hodnotě h = 6 je lokální maximum, a při hodnotě h = 23,3 je lokální minimum. Hodnota 23,3 je ale mimo definiční obor (daný zadáním příkladu)
Je ale potřebné toto řešení ověřit.
Spočítám objemy pro h = 6, třeba pro h= 4 a třeba pro h = 8.
V(6) = 4608
V(4) = 4160
V(8) = 4224
2x
Př. 2)
Podél zdi je delší strana obdélníkové parcely, tedy strana b
Délka části obvodu parcely, na které bude pletivo, je l
Je to vyjádřeno funkcí
l = 2a + b
Vzorec pro plochu parcely je
S = a krát b
200 = a krát b
b = 200/a
b = 200 a-1
Dosadím do funkce l
l = 2a + 200 a-1
Protože náklady na pletivo mají být co nejmenší, tak je potřeba zjistit minimální hodnotu dané funkce (tedy lokální minimum).
Tedy danou funkci zderivuju a derivaci dám rovnu 0.
doplněno 03.02.21 23:09:
Definičním oborem této funkce je interval od 0 do přibližně 14 (což je o něco míň, než je odmocnina z 200).
l` = 2 - 200 a-2
0 = 2 - 200 a-2
200 a-2 = 2
200 = 2a2
100 = a2
a = 10 m
Tedy rozměry parcely jsou :
a = 10 m
b = 20 m
Délka oplocené části obvodu parcely je :
l = 40 m
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.