Dobrý večer, lámu si hlavu, ale patrně jsem na matematiku opravdu hloupý... Na internetu jsem sice našel pár řešení, ale kýžené pochopení se nějak nedostavilo... Mám úlohu:
Napište rovnice tečen kuželosečky: x^2-9y^2-5=0, které jsou rovnoběžné s přímkou p: 2x-3y=0
Pomohl by mi prosím někdo? Nejlépe jako hlupákovi...
2x
Tečny mají být rovnoběžné s přímkou p: 2x-3y=0, proto mají rovnici 2x-3y+c=0. Odtud vyjádříme např. y a dosadíme do rovnice kuželosečky. Dostaneme kvadratickou rovnici. Napíšeme její diskriminant a položíme jej roven nule (D = 0), protože chceme, aby rovnice měla 1 řešení (tečna má s kuželosečkou 1 společný bod).
Vyjdou dvě různá c, protože existují dvě tečny k této kuželosečce, které jsou rovnoběžné s přímkou p. Jestli dobře počítám, c = ±\/¯(15).
0x
Zacal by som tym, aka je to kuzelosecka a nakreslil si ju na papier, spolu s tou priamkou.
Je to hyperbola, lebo ta ma rovnicu : x2 / a2 - y2 / b2 = 1 a ta vasa sa da na taku formu previest.
Dotycnica a hyperbola maju jeden spolocny bod = bod dotyku, ak sustava rovnic priamky a hyperboly ma prave jedno riesenie.
0x
Rovnice tečny, která je rovnoběžná se zadanou přímkou p: 2x-3y=0
je 2x-3y+c=0.
Je potřeba dopočítat to c (bude nějaké číslo).
Vyjádříme y z té rovnice:
2x-3y+c=0
-3y = - 2x - c
3y = 2x + c
y = 2/3 x + c/3
Takto vyjádřené y dosadíme do rovnice kuželosečky a tím vznikne kvadratická rovnice.
x2-9y2-5=0
x2- 9(2/3 x + c/3)2 - 5 = 0
Upravíme rovnici (roznásobit závorku)
x2-9(4/9 x2 + 4/9 xc + c2 /9 )2 -5 = 0
x2 - 4 x2 + 4 xc + c2 - 5 = 0
-3 x2 + 4c x + c2 - 5 = 0
Diskriminant této kvadratické rovnice je roven 0, protože společný bod kuželosečky a tečny je jen jeden (bod dotyku T)
Vzorec diskriminantu obecně je
D = b2 - 4 krát a krát c
Protože kvadratická rovnice obecně je
ax2 + bx + c
tedy
a je -3
b je 4c
c je c2 - 5 (to je jiné c , to c ze zadání)
D = (4c)2 - 4 krát (-3) krát (c2 - 5)
Diskriminant dáme roven nule (D = 0)
0 = 16 c2 + 12 c 2 - 60
60 = 4 c2
15 = c2
Výsledkem jsou dvě různá c, protože existují dvě tečny k této kuželosečce, které jsou rovnoběžné s přímkou p.
c1 = \/¯(15)
c2 = - \/¯(15)
Výsledné rovnice tečen jsou:
t1 : 2x-3y + \/¯(15) = 0
t2 : 2x-3y - \/¯(15) = 0
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.