Jak vyřešit limitu

Spodní limitu lze řešit na základě věty, že limita součinu je rovna součinu jednotlivých limit, viz. např. text na stránce, na kterou je tento odkaz

jitkakrickova.cz/...

----------------------

[(2n+1)/(5n-3)] umocněno na 3n = [(2n+1)/(5n-3)] krát [(2n+1)/(5n-3)] krát [(2n+1)/(5n-3)] krát ...

protože n je celé kladné číslo

---

lim n se blíží nekonečnu [(2n+1)/(5n-3)] = 2/5

Je to podíl koeficientů před n

---

lim n se blíží nekonečnu [2/5] umocněno na 3n = 0

Tedy výsledek spodní limity je 0.

Tak v prvním příkladu je oprzavdu nejjednodušší vytknut z čitatele 2ⁿ a ze jmenovatele 3ⁿ. Tím dostaneme před zbytek výrazu mocninu (2/3)ⁿ, což konverguje k nule, a to bude násobeno zlomkem, v jehož čitateli je výraz 1+(4n)/(2ⁿ), který konverguje k jedné, a podobně jmenovatel bude mít též za limitu jedna.Čili celý výraz konverguje k nule. Q.E.D.

Když jsem se teď podíval na Lopezzův postup, zdá se mi, že dělá v podstatě totéž, jen zbytečně komplikovaně. A já se ještě jednou omlouvám, původně jsem si to představoval zpaměti koukaje na mobil, a pozdněnoční bludná úvaha mi vnukla nesmyslnou představu o limitě toho vytčeného zlomku.

První limitu lze možná spočítat takto:

Čitatel zlomku i jmenovatel zlomku vydělit n.

(2ⁿ /n + 4) / (3ⁿ /n + 1) = (2ⁿ /n ) / (3ⁿ /n + 1) + 4 / (3ⁿ /n + 1)

Lze použít větu, že limita součtu funkcí je rovna součtu limit jednotlivých funkcí.

lim 4 / (3ⁿ /n + 1) = 0, protože lim 3ⁿ /n je nekonečno

---

(2ⁿ /n ) / (3ⁿ /n + 1) = (2ⁿ) / (3ⁿ + n)

Protože (2ⁿ) / (3ⁿ + n) < (2ⁿ) / (3ⁿ )

tak lim (2ⁿ) / (3ⁿ ) > lim (2ⁿ) / (3ⁿ + n)

lim (2ⁿ) / (3ⁿ ) = lim (2/3)ⁿ = 0

(protože to píšu na klávesnici tak jsem za lim nenapsal, že se blíží k nekonečnu, aby to bylo přehlednější)

Tedy výsledek příkladu je 0.

Zdravím, na první limitu bych použil l´Hospitalovo pravidlo, v druhé limitě vytkni n v čitateli i ve jmenovateli.

Návody na řešení rozmanitých limit: math.feld.cvut.cz/...