V trojúhelníku ABC je bod S středem vepsané kružnice. Obsah čtyřúhelníku ABCS je roven čtyřem pětinám obsahu trojúhelníku ABC. Délky stran trojúhelníku ABC vyjádřené v centimetrech jsou všechny celočíselné a obvod trojúhelníku ABC je 15 cm. Určete délky stran trojúhelníku ABC. Najděte všechny možnosti.
1x
Možná je to takto (bez záruky správnosti)
5 krát SABS = S
5 krát (c krát ρ) / 2 = S
5 krát (c krát ρ) / 2 = (ρ krát o) / 2
5 krát (c krát ρ) = ρ krát o
5 krát c = o
5 krát c = 15
Asi je to možné počítat taky přes Heronův vzorec, obzvláště pokud má někdo Heronův vzorec "zahrnut" v oblíbených vzorcích 
Pokud je můj výpočet správný, tak bych "prověřil " sedm hodnot délky strany a, tedy 1;2;3 atd.
Myslím že není co počítat.
Možné délky stran jsou stanoveny. Pouze 7 možností, ostatní jsou cyklické záměny.
Přes Heronův vzorec si tazatel vypočítal délku strany která se rovná 3
Ovšem mnohem jednodušší je výpočet poloměru kružnice vepsané z plochy trojůhelnika, kterou vůbec není potřeba počítat, protože nás zajímá pouze poměr ploch. Opět vyjdou 3. A strana o délce 3 se z těch 7. možnosti vyskytuje 2x
0x
Jak se zdá ty makat nebudeš a zatím se nenašel žádný blbec. Asi bych nejdřív určil všechny možnosti a pak teprve počítal kterým rozměrům odpovídá ten poměr ploch.
Máš dáno strany jsou celočíselné a součet je 15.
Měl by jsi vědět, že součet kterýchkoliv dvou stran v trojúhelníku je větší než třetí strana
1+1+13=15 pochopitelně neodpovídá
1+6+8=15 neodpovídá
1+7+7=15
2+6+7=15
3+6+6=15
3+7+5=15
atd. Možná vše
Ještě zkusím. Nalézt všechny možnosti snad by neměl být problém. Zas jich tolik nebude. Cyklické záměny bych vyloučil.
Plochy těch trojúhelníků se nechají vypočítat Heronovým vzorcem, když známé délky stran. Plocha trojúhelníku ASC má být 1/5 plochy trojúhelníku ABC. A snad vypočítat základnu AC z té plochy, když známé výšku toho trojúhelníku by neměl být problém. Výška toho trojúhelníku je totiž poloměr té vepsané kružnice.
A poloměr vepsané kružnice je r = 2S/o to jest dvojnásobnou plochu (tu si vypočteme) dělíme obvodem (a ten známe že je 15)
Ještě asi bude
4+4+7=15
4+5+6=15
Dál už asi budou cyklické záměny. Zkus to. Zdá se že jen 6 možností. Vypočítat 6 různých ploch Heronovým vzorcem z daných stran. (trochu složitější) Vypočítat 6 různých poloměrů (jednoduché) Vypočítat plochu trojúhelníku ASC (jednoduché) Vypočítat z této plochy stranu AC když známe plochu a výšku (jednoduché)
No a uvidíš která vypočtená délka strany AC odpovídá předem určeným délkám stran trojúhelníka.
Pochlub se
Pochopitelně mně vypadlo 5+5+5 takže 7 možností
1+7+7=15
2+6+7=15
3+5+7=15
3+6+6=15
4+4+7=15
4+5+6=15
5+5+5=15
Napadá mne mnohem jednodušší řešení bez použití Heronova vzorce
Pokud stranu AC nazveme "a" poloměr vepsané kružnice je "r" pak obsah trojúhelníka ASC je S=(ar)/2 a má to být pětina obsahu celého trojúhelníku
Poloměr vepsané kružnice je r=2S/o obvod známe takže r=2S/15 a z toho S=15r/2 ovšem potřebujeme pětinu takže S=15r/10
Stačí porovnat ar/2=15r/10 a dostaneme že a=3
tomuto výpočtu by měly odpovídat dvě kombinace délky stran
Teď bych asi Heronovým vzorcem spočítal obsah dvou trojúhelníků ABC v kombinaci 3+5+7 a 3+6+6 spočítal poloměr jejich kružnice vepsané, obsah trojúhelníků ASC kde strana AC je dlouhá 3 a zkontroloval zda obsah těchto trojúhelníků je skutečně pětina obsahu celého trojúhelníku ABC
To už nechám na tobě. Neručím, že je to správně. No v okresním kole bych to nechtěl dostat.
Děkuji za nápovědu. Už vím proč jsem si nevěděl rady.
Vaší nové zprávy z 5:22 jsem si nevšiml a postupoval jsem podle včerejší nápovědy. Různé možnosti stran podle pravidla, že součet kterýchkoliv dvou stran v trojúhelníku je větší než třetí strana, jsem dokázal určit, ale nevěděl jsem jak dál, protože Heronový vzorec jsme ve škole zatím nebrali a ni jsme si o něm nepovídali. Podle vaší první nápovědy jsem zjistil, že strana AC má velikost 3 cm. Z toho vyplívá, že máme dvě možnosti velikosti stran trojúhelníku 3+6+6=15 a 3+7+5=15. Po překontrolování obsahů trojúhelníků ASC, kde strana AC má 3 cm a zjistil jsem výšku (1,16 a 0,866 cm) se v obou případech vždy jedná o pětinu celého trojúhelníku ABC. Obsah celého trojúhelníku jsem spočítal pomoci - Heronův vzorec ( cs.wikipedia.org/...
Jelikož jsme si o obsahu trojúhelníku pomocí tří stran ve škole zatím neříkali, určím postup slovní úlohy jen obecně, jak bych postupoval. Děkuji za pomoc
Snaha se cení. Výpočet plochy přes Heronův vzorec tedy rozhodně není v nějakých celých číslech. Ovšem ten druhý postup co jsem popsal je myslím velice elegantní.
Není třeba znát Heronův vzorec, ale vzorec na poloměr kružnice vepsané z plochy celého trojúhelníka. Přiznám se, že jsem ho nikdy nepoužil. r=2S/o Prostě dvojnásobnou plochu trojůhelnika dělíme obvodem trojůhelnika.
Víme že výška trojůhelnika ASC se rovná poloměru vepsané kružnice a pak už je jednoduché z poměru ploch vypočítat stranu "a" která se rovná 3 a ze všech možností se nabízejí pouze dvě.
Vše popsáno výše
Ani o vzoreci na poloměr vepsané kružnice z plochy celého trojúhelníka jsme si ve škole neříkali.
Chápu. Toto je jistě první kolo a není problém si něco vyhledat. Není třeba něco znát, ale vědět kde to najdu. Ovšem u Okresního kola nevím co je povoleno. Možná všechno možné, mimo přítele na telefonu. Tabulky, kalkulačka atd.
Taky jsem ten vzorec neznal
Kdysi, moc dávno, jsem byl v Okresním kole poslední, devátý, ale úspěšný. Za mnou dalších 20 neúspěšných.
Nevim který ročník, třeba někdo najde řešení s použitím dosud získaných znalostí.
Furt je lepší v tom něco podniknout, než čekat až to Lopez vypočítá.
0x
Střed vepsané kružnice (v trojúhelníku) je průsečík os úhlů toho trojúhelníka.
Tedy např. plocha trojúhelníka ABS je :
SABS = (c krát ρ) /2
ρ je poloměr vepsané kružnice
Náčrt
je např. na str. 7 souboru, na který je tento odkaz
Tedy
SABS = 1/5 krát S
S je obsah trojúhelníka ABC
a + b + c = 15 cm
Kružnice trojúhelníku vepsaná je taky popsaná na wikipedii (ale poloměr té kruřnice je na wilipedii označen r)
Tady je odkaz
Je tam uveden vzorec
ρ = 2S / o
S je plocha trojúhelníka
o je obvod trojúhelníka
o = 15 cm
c je celé číslo
1 ≤ c ≤ 13 , protože minimální délka strany a nebo strany b je 1 cm
Je možnost prověřit 13 hodnot (tedy 1,2,3 atd.) dosazením za c
Možná to lze spočítat takto
5 krát SABS = S
dosadit
5 krát (c krát ρ) / 2 = S
5 krát (c krát ρ) / 2 = (ρ krát o) / 2
5 krát c = o
5 krát c = 15
0x
doufam ze vam napoveda alepson trochu pomuze
Zdravím a poznamenávám, že ve Vašem příspěvku :" ...napovedu dam jeste ze r=2S/2 kde r je polomerem kruznice vepsane a S povrch trojuhelnika..." došlo zřejmě k překlepu. Do jmenovatele ta dvojka určitě nepatří. Vzhledem k tomu, že je "řeč" o trojúhelníku ACS, líbila by se mi tam strana b...
- Planimetrie, trojúhelník, kružnice vepsaná
- Popis konstrukce kružnice opsané a vepsané
- Příklady s kružnicí
- Geometrie kruižnice
- Poloměr kružnice
- Kružnice vepsaná
- Vepsaná kružnice
- Planimetrie - příklady
- Planimetrie - úhly
- Úhly v trojúhelníku - výpočet
- Rovnice na kružnici
- Kružnice vepsaná, opsaná osmiúhelníku
- Jak narýsovat těžnici
- Geometrie (kružnice,tětiva)
- Maturitní matematické úlohy
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.