Definiční obor

Jde postupovat i tak, že výraz pod odmocninou upravíme na zlomek (u obou odmocnin). Pak např. u prvního dostaneme

(x-1)/x ≥ 0, což rozdělíme na dva případy:

a) x-1 ≥ 0 a zároveň x > 0,

b) x-1 ≤ 0 a zároveň x < 0

atd.

ŘEŠENÍ TOHOTO PŘÍKLADU:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I) Podmínka první odmocniny

1 - 1/x ≥ 0

a)

pro x > 0, tedy pro interval (0 , nekonečno)

1 - 1/x ≥ 0 / krát x (znaménko nerovnosti se nemění)

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

Průnik intervalu <1 ; nekonečno) a intervalu (0 , nekonečno) je interval <1 ; nekonečno)

b) pro x < 0, tedy pro interval (mínus nekonečno ; 0)

1 - 1/x ≥ 0 / krát x (znaménko nerovnosti se mění)

x - 1 ≤ 0

x ≤ 1

Průnik intervalu ( mínus nekonečno , 0) a intervalu (mínus nekonečno, 1 > je interval ( mínus nekonečno , 0)

Tedy řešením I) je sjednocení ( mínus nekonečno , 0) u <1 ; nekonečno)

--------------------------------------------------------------------

II) Podmínka druhéodmocniny

1 + 1/x ≥ 0

a) pro x > 0, tedy pro interval (0 , nekonečno)

1 + 1/x ≥ 0 / krát x (znaménko nerovnosti se nemění)

x + 1 ≥ 0

x ≥ - 1

Průnik intervalu <-1 ; nekonečno) a intervalu (0 , nekonečno) je interval (0 ; nekonečno)

b) pro x < 0, tedy pro interval (mínus nekonečno ; 0)

1 + 1/x ≥ 0 / krát x (znaménko nerovnosti se mění)

x + 1 ≤ 0

x ≤ - 1

Průnik intervalu ( mínus nekonečno , 0) a intervalu (mínus nekonečno, -1 > je interval ( mínus nekonečno , -1>

Tedy řešením II) je sjednocení ( mínus nekonečno , -1> u (0 ; nekonečno)

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Řešením celého příkladu je průnik intervalu [( mínus nekonečno , 0) u <1 ; nekonečno)]

s intervalem [ ( mínus nekonečno , -1> u (0 ; nekonečno)]

ŘEŠENÍ JE INTERVAL ( mínus nekonečno , -1> u <1 ; nekonečno)

Násobíme-li nerovnici záporným číslem, musíme otočit znaménko nerovnosti.Když nevíme, jaké je x (jestli kladné nebo záporné), tak musíme rozdělit řešení na 1) a 2).

Jestliže 1 ≥ 1/x ,

tak buď x ≥ 1 nebo x < 0

což je interval (- nekonečno, 0) u <1, nekonečno)

(protože když x je ≤1, tak zlomek 1/x > 1)

----

Jestliže 1 ≥ - 1/x ,

tak buď x ≤ -1 nebo x > 0

což je interval (- nekonečno, -1> u (0, nekonečno)

(protože když x je ≥ -1, tak zlomek -1/x < 1

---

Průnikem těch dvou intervalů je interval

(- nekonečno, -1> u <1, nekonečno)

Jednodušší je, dát sem rovnou zadání jiného příkladu. Popisování obecně je problematický.

Obecně se dá konstatovat, že každou podmínku je potřeba řešit zvlášť, tedy řešit každou odmocninu zvlášť, každý zlomek zvlášť, popř. každý logaritmus zvlášť atd.

Z jednotlivých výsledných intervalů pak udělat průnik.

Řešit dvě podmínky zaráz, to samozřejmě je komplikovanější a vypadá to jako "zmatek".

Tedy v tomto příkladě:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I) vyřešit podmínku 1 - 1/x ≥ 0

a) řešit pro x > 0 vznikne nějaký interval

Udělat průnik toho vzniklého intervalu s intervalem (0; nekonečno)

b) řešit pro x < 0, vznikne nějaký interval

Udělat průnik toho vzniklého intervalu s intervalem ( mínus nekonečno; 0)

---

Udělat sjednocení intervalů z a) a z b)

------------------------------------------------

II) vyřešit podmínku 1 + 1/x ≥ 0

a) řešit pro x > 0 vznikne nějaký interval

Udělat průnik toho vzniklého intervalu s intervalem (0; nekonečno)

b) řešit pro x < 0, vznikne nějaký interval

Udělat průnik toho vzniklého intervalu s intervalem ( mínus nekonečno; 0)

---

Udělat sjednocení intervalů z a) a z b)

---------------------------------------------------------

Udělat průnik intervalů vzniklých z I) a II)

A tento průnik je řešením příkladu

Máš tam ty dvě podmínky
1>=1/x a 1>=-1/x
Abys z nich dostala rozumně x, potřebuješ to obojí tím samotným x vynásobit. No jo, jenže to x zatím může být jakékoliv (neznáme ho) a problém je v tom, že kdyby náhodou bylo záporné, tak při násobení nerovnice tím záporným x musíš otočit porovnávací znak. To je pravidlo: když se nerovnice násobí záporným číslem, musí se otočit porovnávací znak.
Proto to tady musíme rozdělit na x>0 a x<0, když násobíme jen tím x.
Takže pro kladná x to vynásobíme normálně na tvary
x>=1 a x>=-1 (pro x>0)
zatímco pro záporná x na tvary s otočeným většítkem
x<=1 a x<=-1 (pro x<0)

Jo?