Jak počítat integrál

Obecná rada, ale bez upřeznění otázky lepší není.

Tak k večeru, teď odcházím.

Tak se na ten určitý integrál mrknem. Vyjdu z toho, že o neurčitý integrál čili primitivní funkci vám nejde a že ho umíte. Pak je základní, obecný postup pro výpočet určitého integrálu (integrálu v mezích od a do b ) jednoduchý - využijeme Leibnizova . Newtonova vzorce, který říká, že integrál v těchto mezích vypočteme tak, že do primitivní funkce dosadíme horní mez a od výsledku odečteme totéž po dosazení dolní meze. Se vzorečky je v tomto jednoduchém editoru potíž, tak si pomohu tak, že místo integrálu (místo té "fajfky") budu psát S a místo určitého integrálu od a do b napíšu S(a,b); není to moc hezké, ale nic lepšího mne nenapadá. Takže

L.N vzorec: S(a,b) f(x) dx = F(b) = F(a), kde F je primitivní k f: F(x) = S f(t) dt (+C) , resp. f(x) = F(x) na intervalu, přes který integrujeme.

To +C do závorky tam píšu proto, že, jak víš, integrál (primitivní funkce) je určen jednoznačně až na konstantu; ale při L.-N. vzorci na té konstantě nezáleží, protože při tom odčítání se stejně zruší. Například:

S x^3 dx = ¼ x ^4+ C

S(3;4) x^3 dx = 4^4 + C - 3^4 - C = 256 - 81 = 175 (tu konstantu C jsem napsal výjimečně pro úplnost, jinak se nepíše, když se stejně zruší, a ani já ji psát nebudu. )

další příklad:

S sin x dx = cos x, S(0, Pí) sin x dx = cos (Pí) - cos 0 = -2

S(Pí, 0) = cos 0 = cos (Pí) = 2

(Pí je samozřejmě Ludolfovo číslo, a ten poslední příklad uvádím proto, abych ukázal, že horní mez nemusí být větší než ta dolní; když budou uspořádány " obráceně", tak určitý integrál v těchto mezích definujeme jako integrál )ve "správně" uspořádaných mezích, ale s opačným znaménkem).

Tohle je ten základ. Jen je třeba vědět, že aby to byla pravda, musí být primitivní funkce definována na celém intervalu mezi oběma mezemi (prakticky budeme chtít, aby funkce f byla na tom intervalu spojitá). Na příklad S(1/x) dx = ln |x| , určitý integrál od -1 do 1 neexistuje, ale kdybyste ukvapeně dosadil do Newtonova -Leibnizova vzorce, vyšla by vám nula.

Další, co bychom mohli k tématu ještě říci: mohli bychom se zabývat nevlastními integrály (mluvili jste o nich?), mohli bychom formulovat substituční větu a větu o integraci per partes přímo pro určité integrály (uvedený zde výpočet by vyžadoval použít je pro neurčitý integrál a pak použít L-N vzorec, kdežto přímé použití může někdy zjednodušit výpočet), případně si ukázat nějaké speciální triky pro zvláštní případy, atd. Ale to jenom kdybyste měl zájem.