Součet nekonečné řady

Někde jsem četl příklad.Jak sečíst za 1 minutu všechny čísla o 1 do 100?

Způsob sčítání je závislý na logickém myšlení.

Sečteme první a poslední číslici v řadě.- činí to 1 + 100 = 101

pak druhé a předposlední - 2 + 99 = 101

Takto postupujeme celou řadou a poslední co počítáme že všech dvojic je 50-tedy 50 x 101 = 5050

Napsat to mi trvalo 1 minutu.

JABRAKA

Musím se přiznat, že už stárnu a tenhle součet mi dělá problémy. Stejně si myslím, že by to mělo nějak relativně snadno jít z toho rozkladu (n+6)/(n(n+1)(n+2)) = -5/(n+1) + 2/(n+2) + 3/n, ale nějak na to nemohu přijít. Mohl bych ještě přemýšlet,ale dopustím se lehkého podvůdku a zeptám se Wolframa, který mi napoví, že částečný součet té řady od 1 do m je roven

((m*(2m+5)/((m+1)*(m+2)).

Limita tohoto výrazu pro m jdoucí do nekonečna je rovna 2, no a i když jsem tento částečný součet vlastními silami nevymyslel, natolik si fandím, že bych ho uměl dokázart matematickou indukcí (ale dělat to nebudu,ať má co dělat taky Bruno.

Wolfram tvrdí, že součet je 2. Zkuste vyjít z toho, že a_n = (n+6)/(n(n+1)(n+2)) = -5/(n+1) + 2/(n+2) + 3/n. To je vlastně rozklad na parfciální zlomky.

Nevím, jestli je možné to vypočítat teoreticky jako limitu, kde n se blíží nekonečnu.

Je možné to spočítat s určitou přesností, např. na desetitisícinu.

(n+6)/(n(n+1)(n+2)) je menší nebo rovno 0,0001

Odhadem n = 100

106 děleno ( 100 krát 101 krát 102) = 0,000103

Samozřejmě na kalkulačce je pohodlnější to spočítat s přesností na setinu

Pro n = 10

Limita výrazu (n+6)/(n(n+1)(n+2)) pro n jdoucí do nekonečna je zcela evidentně nulová (a tento váraz klesá k nule rychlostí 1/n²), Problém, o který tu jde, je sečíst příslušnou nekonečnou řadu. (Samozřejmě souvislost tu je. Nulová limita n-tého členu je nutnou podmínkou konvergence, a ta výše zmíněná rychlost zaručuje již konvergenci (srovnávací kriterium).)