Nerovnice

Je tam chyba. Má to být arctg

Graf arctg x je např. tady na str. 43

user.mendelu.cz/...

pí - 10^-4 je menší nebo rovno 2 krát arctg x

3,14159 - 0,0001 je menší nebo rovno 2 krát arctg x

3,14149 je menší nebo rovno 2 krát arctg x

1,57075 je menší nebo rovno arctg x

1,57075 děleno pí je přibližně 0,49999 pí

Z toho plyne, že arctg x je minimálně přibližně 0,49999 pí což je 89,998 stupně

tg 89,998 = 28647,9

x je větší nebo rovno přinližně 28647,9

Moalé upřtewsnšění:

Nerovnost k řešení je

π-10^(-4)≤2*arctg x

po vydělení dvěma tedy

½(π-10^(-4))≤arctg x

a z monotonie můžeme aplikovat invcerzní funkci a dostaneme

x≥tg(½π-(10^[-4])/2).

Tak ono můj vysledek x≥tg(½π-(10^[-4])/2) a vaše x ≥ tg [ (π - 0,0001) /2 ] je totéž , jen já jhsem to roznásobil, a obojí je správně. A k tomu výsledku zaokrouhleně 2*10^{4 dospějěme fintou: napíšeme tg x = 1/cotg x a cotangentu v okol}í ½π nahradime diferrenciálem : pro malé α je cotg (½π+ α) přibližněw rovno α.

Tak zdá se, že příklad je kompletně vyřešen, ale zdá se mi, že stojí za to sepsat to řešení přehledně podrobněji.

Takže, nejprve zadání: řešte nerovnost

π - 2 artg x ≤ 10^-4

^--------

Když přehledně, tak přehledně; začnu vyjasněním poj)mů. Zhruba řečeno, funkce f: f(x) = atrctg x je funkce inverzní k funkci tangents, ovšem přesně vzato je to blbst. Má-li k nějaké funkci existovat finkce inverzní,musí sama ta infertovaná funkce býr prosta, což pro tangentu neplatí.To je ošetřeto tak,že budeme vyšetřovat zredukovanou tangentu, v tomto případě funkci f s definičním oborem Df = (-½π,½π), definovanou zde předpisem f(x) = tg (x). Takto "zredukovaná " tangenta je na svém definičním oboru rostoucí a tedy prostá, má tedy inverzní funkci a tuto inverzní funkci per definicionem nazýváme arkustangentou, označení arctg (x). Mezi těmito funkcemi pak platí vztahy

tg (arctg(x)) = x,

arctg (tg (y)) = y,

a díky monotonii tangent, která je (na tom redukovaném oboru) rostoucí, je i arctg rostouci a A < B ⇔ tg A < tg B.

Dále je jasné, že dofiniční obor arctangenty je celé R a její obor hotnot je výše zmíněný interval (-½π,½π). Ale pozor: jestliže vztah tg (arctg (x))=x platí obecně,vztah arctg(tg(z)) = z nemusí platit vždy. Tento vztah ovšem zde využívat nebudeme, přesto pro úplný přehled o věci je vhodné ty úvahy výše uvést.

-----

Ještě zdaleka nejsem s tím přehledným řešením hotov, nicméně už jsem toho naplkal dost a tak vlasatní řešení napíši v dalším díle.

Dobrá, tak pokračování.

Nyní máme připraven potřebný aparát. Pravda, tyohla možná bylo zbytečné. to by se mhlo brát jako obercně známá věc, ale teoretgický backgrounn zde obsažený je základem. A můžeme přejít k vůastnímu řešdeení.

První bokus zde zvěřejněný zkusil @lopezz. Ten ovšem od saméhopočátku hledal přibližné řešení, viz první dvě vcěty (pí - 10^-4 je menší nebo rovno 2 krát arctg x, 3,14159 - 0,0001 je menší nebo rovno 2 krát arctg x) a tak není divu, že mu řešení vyšlo přibližne. Zdali samotný výpočet je dobře, jsem nekontroloval, přijde mi to zbytečné, když přesné řešení je dost jednoduché. A přitom výsledek se od přesného řešení relativně dost liší.

Jak řečeno, přesné řešení je poměrně jednoduché a již zde bylo uvedeno; shrnuji"

--------------------------------------

Přesné řešení:

Řěšíme nerovnoist π - 2 artg x ≤ 10^-4.

Převedeme: π - 10^(-4) ≤ 2 artg x, ½(π - 10^(-4))≤ artg x

A protože tg a arctg jsou obě rostoucí, a , jak víme, platí pro ně vztah tg (arctg (x))=x, dostáváme odsud po drobné úpravě /roznásobení půlkou)

x≥tg(½π-½(10^[-4]))

nebo jinak x≥tg(½π-½0,0001)

---------------------

Závěrečná úprava – přibližné řešení.

Jak již zmíněno, s malým zaokrouhlením lze ttotořešení ještě zjednodušit. Platí totiž, že tg(½π-½0,0001) se přibližně rovná 1/(½0,0001) =20000 (zdůrazňuji to slovo přibližně. Ona sice odchylka je opravdu nepatrrná, nicméně je nenulová.

A jak to odvodíme?

Začnu tím, že použiji rovnost tg x = 1/cotg x a dále bydu vyšetřovat funkci g(x) = cotg x. Evidentně platí cotg ½π = 0. Dále, derivace g v bodě ½π je rovna -1/sin²(½π) a podle věty o totálním diferenciálu

g(½π + α) = g(½π) + g’(½π)α + o(α)

sombol o(α) , čti malé o z alfa, vyjadřuje veličinu řádověmenší neř je alfa. Dosadíme-li konkrétní hodnoty, máme

cotg (½π-½0,0001) = přibližně ½0,0001a pčevrácená hodnota se tedy rovná asi 2000, jak jsme avizovali. A že neplatí rovnost" inu, funkce cotg má v bodě ½π inflexní bod a přechází v něm z jedné strany tečny na druhou.

Jako každou jinou

live.sympy.org/...

Pokud si chcete hrát

solve(GreaterThan(0.0001,pi -2*atan(x))dokonce i zde to je nepřesné