Zdravím,
snažím se nalézt globální maximum funkce y = (cos(4x))2 / x na uzavřeném intervalu od 1 do 2.
Děkuji za každou radu
1x
Derivace této funkce je
y = [2 krát cos(4x) krát (- sin (4x)) krát 4 krát x - (cos(4x))2] / x2
Dát rovno 0
0 = [2 krát cos(4x) krát (- sin (4x)) krát 4 krát x - (cos(4x))2] / x2
Protože x nemůže být 0, tak vynásobit
0 = [2 krát cos(4x) krát (- sin (4x)) krát 4 krát x - (cos(4x))2]
(cos(4x))2 = 2 krát cos(4x) krát (- sin (4x)) krát 4 krát x
Spočítat řešení této rovnice. Pokud jsou řešení a pokud je nějaké v tom intervalu, tak z toho učit to maximum.
Můžu to zkusit dopočítat večer.
Souhlasím, jen bych doplnil: slova"v tomto intervalu" znamenají "v intervalu (0,1)", a připomenul. že do úvahy je nutné brát i krajníbody 1 a 2.
Jedno řešení té rovnice je
cos 4x = 0
Z čehož plyne, že 4x je
buď 1/2 pí + 2 k krát pí tedy x = 1/8 pí + 1/2 k krát pí
nebo 3/2 pí + 2 k krát pí tedy x = 3/8 pí + 1/2 k krát pí
Za k dosadit čísla 0, 1,2 atd.
Za pí dát 3,14
Co je v tom zadaným intervalu, to je řešení
Dál se mně to dneska počítat nechce
řešení , kde cos 4x = 0, rozhodně není globální maximum.
Pak totiž je y=0, ale y(1) i y(2) je kladné.
Vy jstre se na ty krajní body prostě vykašlal.
0x
Globální maximum
doplněno 16.04.20 10:27:
Malá oprava s omluvou: Derivaci samozřejmě počítáme na (otevřeném) intervalu (1;2).
Následný postub zůstává: derivaci položíme rovnu nule. Řešení (v daném intervalu) jsou tzv. stacionární body. K nim přidáme krajní body intervalu, tedy body 1 a 2. Souhrn těchto bodů můžeme označit jako "podezřelé body". Takže v těchto bodech vypočteme hodnoty funkce y = (cos(4x))2 / x a největší z nich je globální maximum; nabývá se, samoyřejmě, v bodě, který jsme takto zjistili.
Dodám, že funkce y je spojitá na uzavřeném intervalu a tedy na tomto intervalu globálního maxima zaručeně nabývá. Výpočet již naznačil @lopezz, ale snad byste to už mohl dotáhnout i sám, ne? Jen nezapomínejte zahrnout i ty krajní body, ať už v nich bude deivacejakákoliv. A pro úplnost, mezi podezřelé body bychom , obecně vyato, měli zahrniut i ty, v nichž derivace neexistuje, ale naše funkce je hladná a takové body neexistují.
Zdravím, děkuji všem za Vaše odpovědi.
Kde jsem se předtím zaseknul, bylo když jsem vypočítal 1. derivaci a položil ji rovnou nule vznikla mi goniometrická rovnice.
V ní jsem vytkunul cos(4x) a vznikly mi dvě části
1: cos(4x) = 0 ( zde se dají určit kořeny analyticky )
2: 8xsin(4x) - cos(4x) = O ( zde už je to trochu složitější ( v této fázi jsem zde dal svůj úkol) a zjistil jsem, že kořeny lze zjistit pouze pomocí numerických metod, ( odhadem ), nalezl jsem Newtonovu metodu hledání kořenů a pomocí ní jsem již kořeny 2. části nalezl. )
Po nalezení kořenů rovnic a samozřejmě jsem zkoušel největší funkční hodnotu v kořenech oboou rovnic a také v hranicích intervalu a nalezl globální maximum.
Ještě jednou děkuji.
0x
@lopezz nabízí jako řešení takové,kde cos 4x =0. Já to nekontroloval,alebez počítání lzeříc.,že v takovém bodě rozhodně není glůobální maxomim (proč?). Mohlopby tam případně být globální minimum,laletouž bych muselaspoň něco počítat,abych to mohl potvrdit či vyvrátit. (Moc bych počítat nemusel.styačilo by ověřit, zda takový bod leží v zadaném intervalu.)
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.