Stejně velké utěrky čtvercového tvaru pokrývají obdélník ABCD, aniž se navzájem překrývají. Pověsí-li se jedna těsně vedle druhé na šňůru, je potřebná délka šňůry rovna obvodu trojúhelníka ABC. Kolik je utěrek?
0x
Tato úloha není na kombinatoriku.
délka strany útěrky ... a
délak obdélníka ... x
šířka obdélníka ... y
Délka obvodu trojúhelníka ABC je ... x + y + odmocnina z (x2 + y2)
počet útěrek(celé kladné číslo) ... n
podmínka délka šňůry je vyjádřena následovně-
a krát n = x + y + odmocnina z (x2 + y2)
podmínka plochy je vyjádřena následovně-
n krát a2 = x krát y
To jsou dvě rovnice, ale čtyři neznámé. Vypadá to, že je potřeba ještě nějakou rovnici přidat.
Na ploše ABCD je stejný počet řad a sloupců položených utěrek, tedy x , y jsou násobky a
Počet řad útěrek(celé číslo) ... r
Počet sloupců utěrek (celé číslo) ... s
r krát s = n
x = r krát a
y = s krát a
Co s tím dál, nad tím přemýšlím
doplněno 05.04.20 10:59:
a krát n = x + y + odmocnina z (x2 + y2)
a krát r krát s = r krát a + s krát a + odmocnina z [(r krát a )2 + (s krát a )2]
a krát r krát s = r krát a + s krát a + a krát odmocnina z [ r2 + s2 ]
vydělit a
r krát s = r + s + odmocnina z [ r2 + s2 ]
r krát s - (r + s) = odmocnina z [ r2 + s2 ]
umocnit
(rs)2 - 2 rs (r + s) + (r + s)2 = ( r2 + s2 )
(rs)2 - 2 rs (r + s) + r2 + s2 + 2 rs = r2 + s2
(rs)2 + 2 rs = 2 rs (r + s)
děleno rs
rs + 2 = 2 (r + s)
rs + 2 = 2r + 2s
--------------------------------------
Pokud to mám dobře, tak řešení jsou ta, když platí předchozí vzorec.
Dá se postupně dosazovat za r
Pro r = 1 je s= 0 (není řešení)
Pro r = 2 není řešení
Pro r = 3 je s = 4
Pro r = 4 je s = 3 (což je totéž jako předchozí řešení)
Pro r = 5 je s = 8/3 (není řešení)
Při r = 6 je s = 10/4 (nneí řešení)
atd.
Kompletní řešení být nemůže, protože není dán rozměr útěrek. Řešením je poměr počtu řad ku počtu sloupců, když jsou útěrky poskládány do obdélníku, přičemž počet řad i počet sloupců jsou samozřejmě celá čísla.
Jestliže je poměr 3 ku 4, tak nejmenší počet útěrek takto sestavených je 3 krát 4, tedy 12. V tom případě je délka obdélníku 4a, šířka obdélníku 3a. Tedy délka úhlopříčky je 5a.
3a + 4a + 5a = 12a
Z toho vyplývá, že možná je jednodušší logické vysvětlení, bez složitějšího výpočtu a sice pythagorovou větou.
Rozměr utěrek nehraje žádnou roli. Může být jednotkový. Pokud je v tom obdélníku v řadě x utěrek a ve sloupci y utěrek a úhlopříčka s tak ty dvě primitivní rovnice může rzsit, pokud to vůbec jde. Navíc by to měla být difantovská rovnice
Nebudu ten elaborat pročítat, ale ten počet n se přece rovná xy
0x
Asi jsem to řešil příliš "mechanicky". Když jsem se nad tím znova zamyslel, tak je to vlastně čáastečně příklad na pythagorovu větu. Daný trojůhelník je pravoúhlý trojúhelník. Jelikož počet řad i počet sloupců (útěrek sestavených do obdélníka) musí být celá čísla, tak řešením by měly být poměry počtu řad ku počtu sloupců, kdy jsou strany pravoúhlého trojúhelníka celá čísla a současně když
a + b + c = a krát b
c = ab - (a + b)
Tedy
a2 + b2 = [ab - (a + b)]2
a2 + b2 = (ab)2 - 2(ab)(a + b) + (a + b)2
a2 + b2 = (ab)2 - 2(ab)(a + b) + a2 + 2ab + b2
0 = (ab)2 - 2(ab)(a + b) + 2ab
děleno ab
0 = ab - 2(a + b) + 2
Tedy řešením můžou být maximálně jen některé tzv. pythagorejské trojice.
Kromě trojice 3,4,5 jsem žádnou jinou nezjistil.
Zkoušet dokazovat , že trojice 3,4,5 je případně jediná možná , na to nemám motivaci.
0x
Možná by důkazmohl být nějak takto:
--
Je potřeba dokázat, že pro celá čísla a,b (větší než 3 a 4) je a krát b větší nebo rovno a + b + c
Protože je to trojúhelník, tak plati a + b je větší jak c
Tedy je li platné, že a krát b je větší nebo rovno a + b + a + b, tak platí že
a krát b větší nebo rovno a + b + c
--
Délky stran trojúhelníka lze zvětšovat tak, že strana a je prodloužena o délku u, strana b je prodloužena o délku v
(a + u) krát (b + v) je větší nebo rovno (a + u) + (b + v) + (a + u) + (b + v)
u,v jsou 0 nebo celá kladná čísla
Když za "zaklad" dám čísla a=4, b =3 tak
(4 + u) krát (3 + v) je větší nebo rovno (4 + u) + (3 + v) + (4 + u) + (3 + v)
12 + 4v + 3u + uv je větší nebo rovno 14 + 2u + 2v
2v + u + uv je větší nebo rovno 2
Pokud jsou u,v jsou celá kladná čísla, tak kromě kombinace 3,4,5 neexistuje žádná další kombinace celých čísel tak, aby v takovém pythagorovském trojúhelníku platilo ab = a + b + c
Pokud u je 0, tak v může být jen 1
Pokud v je 0, tak u může být jen 2
atd.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.