Logaritmus - ani nevím co to je

Dobrý den.

Začn u dotazem, jakou školu a jaký ročník navštěvujete; na tom tak trochu záleží to, jaké otázky a jak můžete zodpovědět.

Předpokládám, že znáte komplexní čísla, když říkáte, že odmocnina z minus 20 jste spočítala. Ano, odmocnina z minus dvaceti není reálné číslo, takže pokud byste dosud komplexní čísla neznali, regulérní odpověď by byla "neexistuje" nebo "nejde spočítat". Takhle ovšem bude odpověď typu " (-20)^½´= ±I(20)^½, úloha má dvě řešení. Dalo by se říci, že odmocnina je inverzní funkce ke druhé mocnině, ovšem abychom mohli mluvit o funkci, měl by výsledek být jednoznačný. U odmocnin z kladných čísel to ošetříme tak, že za odmocninu bereme ten kladný výsledek, což u komplexních čísel nedává moc smysl.

Zatím tohle, vrátím se ještě.

Omlouvám se, ve vyjádření té odmocniny mělo býtmalá i,používané v matematice pro označení imaginární jednotky, tedy v podstatě odmocniny z -1: " (-20)^½´= ±i(20)^½, úloha má dvě řešení." Proč píšu "v podstatě odmocniny z -1"? To souvisí s tou zmíněnou nejednoznačností odmocniny; prostěije číslo, pro kteréplatí i²=-1.

Tak pokračuji s logaritmem. Nejprve, jaký logaritmus máme na mysli? Předppokoládám, že přirocený logaritmus, tedy logaritmus při základu e; v podstatě na tom moc nezáleží, mohl by to být třeba dekzdický Briggsův logaritmus či jakýkoliv jiný. Myšlenkově je to stejné,jen by tobylo technicky komplikovaně. Takže zase: co je (přirozený) logaritmuc? Jako u odmocniny, v podstatě je to inverzní funkce k ezponenciále, je dán definiční rovností

log x = y ⇔ x = e^y.

Takže se ptám: znáte funkciexponenciála (y = e ^x) a co o ní víte?

Předpokládám, že znátereálnou exponenciálu (jinak by ten úkol byl pro vás zyela mimo mísu), tedy její vlastnosti pro x reálné, a speciálnšě víte, že pro všechna reálná x platí e^x>0. Pokud ovšem nevíte nic jiného, tak jsme v situaci podobné tomu, když chceme odmocňovat a neznáme komplexní čísla. Pak jediná správná odpověď bude odpoveď typu "log (-2o0)neexistuje, není definován", nanejvýš si můžeme přidat zadní vrátka tak, že odboveď eoplnmíme slovy "(neexistuje) v oboru reálných čísel" . Pokud tedy neznáte definici ezponenciály pro komplexní x, tak jsme tady skonšili. Ptám se tredy: zníte komplexní ezponenciálu? A související otázka: znáte aritmetický a goniometrický zápis komplexního číslůa?

Bez ohledu na vaši odpověď se k tomu vrátím, ono je to poněkut složitější a chce to samoztatnou odpověď. Zde jen uvedu, že v oborukomplexních čísel má rocnice y = log x ešení pro každá nenulové y, a aby to nebylo tak jednoduché, má jich dokonce nekonečně m,noho.

Logaritmy lze počítat jen z čísel větších než 0.

Tedy takový příklad není řešitelný.

Takže odmocninz máme vzřešenz, a to i ye yáporných čísel. Jen shrnu, (druhá) odmocnina z čísla x je řešení rovnice y = x². Tato rovnice má vždy dvě různá řešení s výjimkou případu x = 0, kdu je řešení jednoznačné – y = 0. Prox kladné jsou tato řešení reálná čísla (a doplněním požadavku y>0 můžeme mlucit o funkci odmocnina, druhé řešení pak je minus odmocnina). Pro x = 0 je tedy y = 0 a pro x < 0 jsouy obě řešení komplexní (dohonce ryze imaginární) čísla, pro která nemá smysl požadavekkladnosti a to v podstatěznemožňuje definovat funkci odmocnina v tom smyslu, v jakém o funkcíh mluvíme, tedy jednoznašně.A jakj je to s logaritmem (přizákladu e, tedy tzv. přirozeným)?

Jak bylo řečeno, logaritmus x je řešení rovnice x = e^y. Váš úkol tedy lze zadat podrobněji, zjistěte, zda tato tovnice má řešení pro y = -20 čili zda logaritmus =20 existuje, a pokud ano, všechna tato řešení určete . Nuže, řešení se odvíjí od toho,covíme o obecné mocnině, speciálně o e^y. Pokud ji máme definovánu pouze pro y reálně, pak, jjaki víme, její hodnoty jsou vždy kladné a tedy naše rovnice nemá )v reálném oboru) řešené, podobně jako jsme to ziistili při hledání odmocniny. Osobně si myslím, že to je i váš případ a že řešení by tomu mělo odpovídat, teny Logaritmus (reálného čísla) je dofinován jen pro kladné argumenty, loogaritmus mínus dvaceti neezistuje a zadaná rovnice nemá (reálné) řešení.

Nicméně lze definovat iezponenciálu pro komplexní argumen o tam je pak vše jinak. Nejprve připomenu (nebo,pokud to nevíte. poučím vás) že exitují dva základní zápisy komplezního čísla Z: aritmetický tvar z= x+iy, čísla x,y se jmenují reálná a imaginární část, a pak goniometricný tvar z =|z|(cos α +i sinα) zde |z|( je obsolutní hodnta, která je vždy hladná krom z=0, kdy je také nulová, a číslo a je takzvaný argument (nebo amplituda) komplexního čísla z. (Geometrický význam argumentu je tedto: zakreslíme-li z jako bod v Gaussově komplexní rovine, pakarkument je úhel, který jeho průvodič svírá s reálnu oso x.Takže například amplituda α=π charakterizuje záporná čísla, totéý například amplituda -π atd.) Výraz e^z se pak definuje vztahem

e^z = e^x(cos y +i sin y).

Důvody nebydy rozebírat, snad jen budiž řečeno, že tato tefinice zachovává vlastnostri mocnin, speciálně e^z₁ *e^z₂ = e^(z₁+z₂); pro z imaginární je to kloasická Moivrova poučka (tohle Vám možná něco říká, ne.teď vidíme, že v komplexním oboru může ez nabývad i záporných hodnot, stačí,aby bylo y = -π + 2kπ, k celé- Dále vidíme. že |cos y +i sin y| =1 a |e^z|= e^x takže chceme-li dosááhnout toho, že e^z= -20, zvolíme e^x = 20 čili x = log 20 a y = -π + 2kπ. Vidíme tedy, že v komplexním oboru má rocnice ze zadání nekonečně mnoho řešení, ovšem komplexních.

Tím by byla úloha vyřešena, ale zároveň vidíme, že rovnice log w = z, kde w = u+iv, má řešení pro každé w nenulové,ale najít ho nechám už na vás. (Poznamenejme, že pro z reálné kladné je řešení reálné a kladné a jednoznačné. a co lze říci dál? Rozhodně to, že obecně je těch řešení nekonečně mnoho. což komplikuje definici komplexního logaritmu jako (jednoznačné( fumkce.)

Jen oprava, řešil jsem problém logaritmus rovný - 20 místo -10, to si opravíte sama. A Vaše zadání skutečně není Jak vypočítat logaritmus -10? , ale Počítejte logaritmus -10, což je,jakjsme royeprali, něco jiného.