dobry den,potřeboval bych pomoc s tímto netěžkým příkladem díky... soustava linearních rovnic o dvou nezn.
7x-3y=17
24x+41y=7
15 odpovědí na otázku
Řazeno dle hodnocení
qwertz*
1x
Hele, to je v pohodě, stačí vypočítat determinant, jestli se nerovná nule. Pokud ano, rovnice nemá řešení, jedná se v podstatě o dva lineárně závislé vektory. Pokud ti vyjde determinant různý od nuly, stačí vypočítat inverzní matici matice {7,3;24,41} a pak ji vektorově vynásobit s vektorem {17,7} a vyjde ti vektorově x a y. Je to jenom lineární algebra, nic složitého... ![*ua*]( "*ua*")
acemcintosh*
1x
Vidím, že je zde již několik dobrých rad jak tuto soustavu rovnic vyřešit, ale mně to nedá abych také nepřispěl![:)]( ":)")
. Proto toto berte jako shrnutí možných řešení.
Coteda já vím, existují 3 různé způsoby řešení této soustavy rovnic a těmi jsou:
řešení pomocí eliminační (Gaussovy) metody
řešení pomocí substituce
řešení pomocí matic
Nyní bych krok po kroku rozebral všechny tři způsoby řešení:
1. - eliminační metoda
abychm soustavu mohli vyřešit, musíme se nejdříve zbavit jedné z proměnných (musíme ji eliminovat), toho docílíme tak, že upravíme jednu rovnici tak, aby se počet jedné z proměnných rovnal, tj. zvolme si třeba že se zbavíme proměnné y:
41*7x+41*(-3)y=41*17
(-3)*24x+(-3)*41y=(-3)*7
a cože jsem to udělal? jednoduše abych vyrovnal počet proměnných y, vynásobil jsem první rovnici 41 a druhou -3, vynásobením vyšlo toto:
(-123)y+287x=697
(-123)y+(-72)x=-21
a nyní si rovnice od sebe odečteme (tu druhou od první):
(-123)y+123y+287x+72x=697+21
a vyjde nám:
359x=718
nyní jednoduše vydělíme rovnici 359:
x=2
a tratadá, hodnotu x máme na světě![:)]( ":)")
. spočítat y je již hračka - např. dosazením xka do první rovnice:
7*2-3y = 17
z toho vyplývá:
-3y = 3
a konečně zde máme výsledek:
y=-1
-
2. - substituce
tento způsob řešení spočívá v tom, že např. v první rovnici si vyjádříme jednu z proměnných (zde to bude y) a dosadíme ji do rovnice druhé (nahradíme - substituujeme![:)]( ":)")
)
takže začneme - z 1. rovnice vyjádříme y:
(-3)y=(-7)x + 17
y = (7/3)x-17/3
a následně jej dosadíme do 2. rovnice:
24x+41*((7/3)x-17/3)=7
a jednoduše spočítáme x:
24x+(287/3)x-697/3=7
(359/3)x=718/3
x=2
nu, a jak jsme si z té první rovnice vyjádřili y, tak to teď použijeme pro jeho výpočet![:)]( ":)")
:
y = (7/3)*2 - 17/3
y=-1
a je hotovo![:)]( ":)")
-
3. - matice
a nyní asi nejelegantnější způsob, který spočívá v použití matic, není to nic těžkého pokud to člověk chápe
pokud máme tvar rovnic:
(-3)y+7x=17
41y+24x=7
a nyní přepíšeme tyto rovnice do matice:
{-3,41;7,24}*{y,x}={17,7}
a protože chceme zjistit hodnotu x a y, vyjádříme si jejich matici v rovnici
{y,x}={17,7}*inverze({-3,41;7,24})
nyní invertujeme tu matici jak jsem tam neprofesionálně dopsal inverze![:)]( ":)")
(nevim jak se to značí, ale to je jedno, prostě to invertujem a hotovo):
{y,x}={17,7}*{24/((-3)*24-7*41),-(41/((-3)*24-7*41));-(7/((-3)*24-7*41)),-3/((-3)*24-7*41)}
pro absolutní pochopitelnost uvedu, že se jedná o matrici 2x2 - {a,c;b,d} a její inverze vypadá takto - {d/(ad-bc),-c/(ad-bc);-b/(ad-bc),a/(ad-bc)}, tak to jen pro úplnost
no a co nám vyjde? výsledek![:)]( ":)")
:
{y,x}={-1,2}
y=-1
x=2
. Proto toto berte jako shrnutí možných řešení.Coteda já vím, existují 3 různé způsoby řešení této soustavy rovnic a těmi jsou:
Nyní bych krok po kroku rozebral všechny tři způsoby řešení:
1. - eliminační metoda
abychm soustavu mohli vyřešit, musíme se nejdříve zbavit jedné z proměnných (musíme ji eliminovat), toho docílíme tak, že upravíme jednu rovnici tak, aby se počet jedné z proměnných rovnal, tj. zvolme si třeba že se zbavíme proměnné y:
41*7x+41*(-3)y=41*17
(-3)*24x+(-3)*41y=(-3)*7
a cože jsem to udělal? jednoduše abych vyrovnal počet proměnných y, vynásobil jsem první rovnici 41 a druhou -3, vynásobením vyšlo toto:
(-123)y+287x=697
(-123)y+(-72)x=-21
a nyní si rovnice od sebe odečteme (tu druhou od první):
(-123)y+123y+287x+72x=697+21
a vyjde nám:
359x=718
nyní jednoduše vydělíme rovnici 359:
x=2
a tratadá, hodnotu x máme na světě
. spočítat y je již hračka - např. dosazením xka do první rovnice:7*2-3y = 17
z toho vyplývá:
-3y = 3
a konečně zde máme výsledek:
y=-1
-
2. - substituce
tento způsob řešení spočívá v tom, že např. v první rovnici si vyjádříme jednu z proměnných (zde to bude y) a dosadíme ji do rovnice druhé (nahradíme - substituujeme
)takže začneme - z 1. rovnice vyjádříme y:
(-3)y=(-7)x + 17
y = (7/3)x-17/3
a následně jej dosadíme do 2. rovnice:
24x+41*((7/3)x-17/3)=7
a jednoduše spočítáme x:
24x+(287/3)x-697/3=7
(359/3)x=718/3
x=2
nu, a jak jsme si z té první rovnice vyjádřili y, tak to teď použijeme pro jeho výpočet
:y = (7/3)*2 - 17/3
y=-1
a je hotovo
-
3. - matice
a nyní asi nejelegantnější způsob, který spočívá v použití matic, není to nic těžkého pokud to člověk chápe
pokud máme tvar rovnic:
(-3)y+7x=17
41y+24x=7
a nyní přepíšeme tyto rovnice do matice:
{-3,41;7,24}*{y,x}={17,7}
a protože chceme zjistit hodnotu x a y, vyjádříme si jejich matici v rovnici
{y,x}={17,7}*inverze({-3,41;7,24})
nyní invertujeme tu matici jak jsem tam neprofesionálně dopsal inverze
(nevim jak se to značí, ale to je jedno, prostě to invertujem a hotovo):{y,x}={17,7}*{24/((-3)*24-7*41),-(41/((-3)*24-7*41));-(7/((-3)*24-7*41)),-3/((-3)*24-7*41)}
pro absolutní pochopitelnost uvedu, že se jedná o matrici 2x2 - {a,c;b,d} a její inverze vypadá takto - {d/(ad-bc),-c/(ad-bc);-b/(ad-bc),a/(ad-bc)}, tak to jen pro úplnost
no a co nám vyjde? výsledek
:{y,x}={-1,2}
y=-1
x=2
Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.